e o vetor vec{v}=(-14,14,-16,19,21).
Seja vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes vetores do enunciado).
Definimos \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} como o vetor de coordenadas de \vec{v} em relação à base \beta. O enunciado pede a entrada x_{4} de \vec{x} (ou seja, o coeficiente de \vec{v} ao longo do quarto vetor da base).]
Passo 2
Explicação do método (fórmula que vamos usar) — sem pular etapas.
Quando a base \beta=\{b_{1},\dots,b_{5}\} é ortogonal (os vetores são dois a dois ortogonais, isto é, b_i\cdot b_j=0 para i\neq j), qualquer vetor \vec{v} se escreve de forma única como
\vec{v}=x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\cdots+x_{5}b_{5}.
Aqui x_i são as coordenadas que queremos. Para obter x_j basta fazer produto escalar com b_j. Explico:
O produto escalar (dot product) entre dois vetores u=(u_1,\dots,u_5) e w=(w_1,\dots,w_5) é
Pronto — o coeficiente é um número inteiro bonito! Vai com calma na prova: ao ver “base ortogonal” já pensa em projeção e produto escalar, isso economiza tempo.