Q17: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} 2 \\\\ 3 \\\\ -2 \\\\ -7 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ 6 \\\\ -4 \\\\ 1 \\\\ 9 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ 2 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 4 \\\\ 4 \\\\ -1 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\}
e o vetor vec{v}=(-14,14,-16,19,21).
Seja vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{4} do vetor vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes vetores do enunciado).
  • A base ortogonal \beta de \mathbb{R}^5 é
\beta=\left\{ \begin{bmatrix}2\\[2pt]3\\[2pt]-2\\[2pt]-7\\[2pt]-3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}3\\[2pt]2\\[2pt]2\\[2pt]2\\[2pt]-2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}4\\[2pt]6\\[2pt]-4\\[2pt]1\\[2pt]9\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-2\\[2pt]2\\[2pt]-3\\[2pt]2\\[2pt]-2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-4\\[2pt]4\\[2pt]4\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{bmatrix} \right\}.
  • O vetor
\vec{v}=\begin{bmatrix}-14\\[2pt]14\\[2pt]-16\\[2pt]19\\[2pt]21\end{bmatrix}.
  • Definimos \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} como o vetor de coordenadas de \vec{v} em relação à base \beta. O enunciado pede a entrada x_{4} de \vec{x} (ou seja, o coeficiente de \vec{v} ao longo do quarto vetor da base).]

Passo 2

Explicação do método (fórmula que vamos usar) — sem pular etapas.
Quando a base \beta=\{b_{1},\dots,b_{5}\} é ortogonal (os vetores são dois a dois ortogonais, isto é, b_i\cdot b_j=0 para i\neq j), qualquer vetor \vec{v} se escreve de forma única como
\vec{v}=x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\cdots+x_{5}b_{5}.
Aqui x_i são as coordenadas que queremos. Para obter x_j basta fazer produto escalar com b_j. Explico:
  • O produto escalar (dot product) entre dois vetores u=(u_1,\dots,u_5) e w=(w_1,\dots,w_5) é
u\cdot w = u_1 w_1 + u_2 w_2 + \cdots + u_5 w_5.
  • Tome o produto escalar de \vec{v} com b_j:
\vec{v}\cdot b_j = \sum_{i=1}^{5} x_i (b_i\cdot b_j).
Como a base é ortogonal, para i\neq j vale b_i\cdot b_j=0, ficando apenas o termo i=j. Assim
\vec{v}\cdot b_j = x_j (b_j\cdot b_j).
  • Isolando x_j obtemos a fórmula prática:
x_j=\frac{\vec{v}\cdot b_j}{b_j\cdot b_j}.
Nesta fórmula:
  • \vec{v}\cdot b_j é o produto escalar entre \vec{v} e b_j;
  • b_j\cdot b_j é o quadrado da norma de b_j (uma soma de quadrados).
Essa fórmula usa só produtos escalares e não requer resolver sistemas lineares — por isso o enunciado diz que não é necessário resolver sistema.

Passo 3

Identificar o quarto vetor da base (o b_{4}).
O quarto vetor da base é
b_{4}=\begin{bmatrix}-2\\[2pt]2\\[2pt]-3\\[2pt]2\\[2pt]-2\end{bmatrix}.
Queremos x_{4}=\dfrac{\vec{v}\cdot b_{4}}{b_{4}\cdot b_{4}}.]

Passo 4

Calcular o numerador \vec{v}\cdot b_{4} componente a componente.
Escrevendo os produtos:
\vec{v}\cdot b_{4} = (-14)\cdot(-2) + 14\cdot 2 + (-16)\cdot(-3) + 19\cdot 2 + 21\cdot(-2).
Agora computo cada termo:
(-14)\cdot(-2)=28,\qquad 14\cdot 2=28,\qquad (-16)\cdot(-3)=48,\qquad 19\cdot 2=38,\qquad 21\cdot(-2)=-42.
Somando:
\vec{v}\cdot b_{4}=28+28+48+38-42=100.

Passo 5

Calcular o denominador b_{4}\cdot b_{4} (soma dos quadrados das entradas de b_{4}).
b_{4}\cdot b_{4}=(-2)^2 + 2^2 + (-3)^2 + 2^2 + (-2)^2 = 4+4+9+4+4=25.

Passo 6

Aplicar a fórmula para obter x_{4}.
x_{4}=\frac{\vec{v}\cdot b_{4}}{b_{4}\cdot b_{4}}=\frac{100}{25}=4.
Pronto — o coeficiente é um número inteiro bonito! Vai com calma na prova: ao ver “base ortogonal” já pensa em projeção e produto escalar, isso economiza tempo.

Resposta

4

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