Q12: Demonstre que, para coordenadas polares (r, theta), d s^2=d x^2+d y^2=d r^2+r^2 d theta^2. Usando esse resultado, encontre uma expressão para a energia cinética de uma partícula de massa m em coordenadas polares. Identifique as componentes covariantes do tensor métrico, gA^prime B^prime para coordenadas polares. e calcule as componentes contravariantes, g^A^prime B^prime.
Um vetor no ponto x=1, y=1 tem componentes cartesianas vA=v^A=(2,2). Quais são suas componentes contravariantes v^A^prime em coordenadas polares nesse ponto? (Você vai precisar calcular o valor da matriz jacobiana J^A^prime A ). Calculando |v|^2=gA B v^A v^B nos dois sistemas, demonstre que os valores são iguais. Por que v^2^prime=0 ?
E cin =12 m(d sd t)^2=12 m(dotr^2+r^2 dottheta^2), gA^prime B^prime=(rr1 & 0 0 & r^2), g^A^prime B^prime=(rr1 & 0 0 & r^-2), J^A^prime A=(rrcos theta & sen theta -sen theta / r & cos theta / r)= (rrraiz2 / 2 & raiz2 / 2 -12 & 12) no ponto x=1 y=1 v^A^prime=binom2 raiz20 e |v|^2=8 nos dois sistemas. v^2^prime=v^theta=0 porque o vetor é somente no sentido radial e não tem componente angular.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em coordenadas polares (r,theta),
ds^2=dx^2+dy^2=dr^2+r^2,dtheta^2,
usar isso para escrever a energia cinética
Erm cin=tfrac12 ml(dot r^2+r^2dottheta^2r),
identificar gA'B' e g^A'B', depois transformar um vetor dado em cartesianas (2,2) no ponto (x,y)=(1,1) e verificar que o comprimento |v|^2 é invariante.

Passo 2

Começamos escrevendo
x=rcostheta, y=rsintheta
Diferenciando,
dx=costheta,dr - rsintheta,dtheta, dy=sintheta,dr + rcostheta,dtheta
Então
ds^2=dx^2+dy^2 =(costheta,dr - rsintheta,dtheta)^2 +(sintheta,dr + rcostheta,dtheta)^2
Expandindo e somando, os termos mistos em dr,dtheta se cancelam e sobra
ds^2=dr^2+r^2,dtheta^2

Passo 3

A energia cinética de uma partícula de massa m é
Erm cin=12,ml(dsdtr)^2 =12,ml(dot r^2+r^2dottheta^2r)

Passo 4

Comparando ds^2=gA'B',dq^A',dq^B' com dr^2+r^2dtheta^2 vemos que, em (q^1,q^2)=(r,theta),
gA'B'= grr & grtheta[6pt] gtheta r & gthetatheta = 1 & 0 0 & r^2
]

Passo 5

A inversa desta matriz dá as componentes contravariantes
g^A'B'= 1 & 0 0 & r^-2

Passo 6

Para passar de coordenadas cartesianas x^A=(x,y) para polares q^A'=(r,theta) usamos a jacobiana
J^A'A=partial q^A'partial x^A,
isto é
J= partial r/partial x & partial r/partial y[4pt] partial theta/partial x & partial theta/partial y = costheta & sintheta[4pt] -tfracsinthetar & tfraccosthetar
]

Passo 7

No ponto (x,y)=(1,1) temos
r=raiz1^2+1^2=raiz2, theta=pi4,
logo numericamente
J|(1,1)= raiz22 & raiz22[4pt] -12 & 12
]

Passo 8

Dado v^A=(v^x,v^y)=(2,2), suas componentes em polares são
v^r=J^rx,v^x+J^ry,v^y =raiz22cdot2+raiz22cdot2 =2raiz2,
v^theta=J^thetax,v^x+J^thetay,v^y =-12cdot2+12cdot2 =0

Passo 9

No sistema cartesiano
|v|^2 =de<aABv^Av^B =2^2+2^2=8
Em polares
|v|^2 =gA'B',v^A'v^B' =1cdot(2raiz2)^2+r^2cdot0^2 =8
Assim, o comprimento é invariante.

Passo 10

O resultado v^theta=0 ocorre porque o vetor original (2,2) no ponto (1,1) está inteiramente na direção radial—não há componente angular.

Resposta

ds^2=dr^2+r^2dtheta^2, Erm cin=tfrac12m(dot r^2+r^2dottheta^2),
gA'B'=1&00&r^2, g^A'B'=1&00&r^-2,
J^A'A|(1,1)= raiz22&raiz22[4pt] -12&12 , v^A'=2raiz20, |v|^2=8 em ambos os sistemas
]

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