Q13: Coordenadas parabólicas no plano são definidas como e . Demonstre que, em coordenadas parabólicas, . Como podemos perceber imediatamente que coordenadas parabólicas são ortogonais? Obtenha e, calculando a matriz inversa, determina . Qual a expressão para a energia cinética, , de uma partícula de massa em coordenadas parabólicas?
Passo 1
O enunciado define as coordenadas parabólicas por
pede (i) o elemento de linha , (ii) justificar a ortogonalidade, (iii) o jacobiano e sua inversa , e (iv) a energia cinética
em termos de .
Conteúdo: diferenciais, métrica em coordenadas, jacobiano de transformação e energia cinética em coordenadas generalizadas.
Passo 2
Calculemos os diferenciais
Passo 3
O elemento de linha é
Substituindo,
Como o termo cruzado anula, obtemos
Passo 4
Vemos imediatamente que não há termo , isto é, . Isso mostra que as coordenadas são ortogonais.
Passo 5
O jacobiano tem componentes
Em forma de matriz,
com det J = sigma^2+tau^2.
Passo 6
A inversa de uma matriz é . Assim
onde as linhas correspondem a e respectivamente e as colunas a e .
Passo 7
A energia cinética em coordenadas originais é
K = tfrac12,ml(dot x^2 + dot y^2r)
Mas dot x^2+dot y^2 = (sigma^2+tau^2)(dotsigma^2+dottau^2) já obtido no elemento de linha. Logo