Q13: Coordenadas parabólicas no plano (sigma, tau) são definidas como x=sigma tau e y=12(tau^2-sigma^2). Demonstre que, em coordenadas parabólicas, d s^2=(sigma^2+tau^2)(d sigma^2+d tau^2). Como podemos perceber imediatamente que coordenadas parabólicas são ortogonais? Obtenha J^A A^prime e, calculando a matriz inversa, determina J^A^prime A. Qual a expressão para a energia cinética, K, de uma partícula de massa m em coordenadas parabólicas?
K=12 m(sigma^2+tau^2)(dotsigma^2+dottau^2)

Passo 1

O enunciado define as coordenadas parabólicas (sigma,tau) por
x = sigma,tau, y = tfrac12l(tau^2 - sigma^2r),
pede (i) o elemento de linha ds^2, (ii) justificar a ortogonalidade, (iii) o jacobiano J^AA'=partial x^A/partial q^A' e sua inversa J^A'A, e (iv) a energia cinética
K=tfrac12,ml(dot x^2+dot y^2r)
em termos de (sigma,tau).
Conteúdo: diferenciais, métrica em coordenadas, jacobiano de transformação e energia cinética em coordenadas generalizadas.

Passo 2

Calculemos os diferenciais
dx = tau,dsigma + sigma,dtau, dy = -sigma,dsigma + tau,dtau

Passo 3

O elemento de linha é
ds^2 = dx^2 + dy^2
Substituindo,
ds^2 = (tau,dsigma + sigma,dtau)^2 +(-sigma,dsigma + tau,dtau)^2 = (tau^2+sigma^2),dsigma^2 +(tau^2+sigma^2),dtau^2 +2(tausigma-sigmatau),dsigma,dtau
Como o termo cruzado anula, obtemos
boxedds^2 = (sigma^2+tau^2)l(dsigma^2 + dtau^2r)

Passo 4

Vemos imediatamente que não há termo dsigma,dtau, isto é, gsigmatau=0. Isso mostra que as coordenadas são ortogonais.

Passo 5

O jacobiano J^AA'=partial(x,y)/partial(sigma,tau) tem componentes
J^xsigma = partial xpartialsigma = tau, J^xtau = partial xpartialtau = sigma,
J^ysigma = partial ypartialsigma = -sigma, J^ytau = partial ypartialtau = tau
Em forma de matriz,
J^AA' = tau & sigma -sigma & tau ,
com det J = sigma^2+tau^2.

Passo 6

A inversa de uma matriz é . Assim
onde as linhas correspondem a e respectivamente e as colunas a e .

Passo 7

A energia cinética em coordenadas originais é
K = tfrac12,ml(dot x^2 + dot y^2r)
Mas dot x^2+dot y^2 = (sigma^2+tau^2)(dotsigma^2+dottau^2) já obtido no elemento de linha. Logo
boxedK = tfrac12,m,(sigma^2+tau^2)l(dotsigma^2 + dottau^2r)

Resposta

ds^2 = (sigma^2+tau^2)(dsigma^2 + dtau^2).
As coordenadas são ortogonais porque gsigmatau=0.
J^AA' = tau & sigma -sigma & tau , J^A'A = 1sigma^2+tau^2 tau & -sigma sigma & tau
K = tfrac12,m,(sigma^2+tau^2)l(dotsigma^2 + dottau^2r)

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