Sejam u e v vetores constantes (isto é numa base cartesiana u=uA eA onde uA são constantes). Demonstre que nabla(u cdot(v times x))=u times v

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados vetores constantes u e v e o vetor posição x, vale
nablal(ucdot(vtimesx)r)=utimesv
O conteúdo principal é cálculo vetorial: uso da identidade do produto misto (triple product) e da propriedade de que, para vetor constante a,
nabla(acdotx)=a

Passo 2

Usamos a identidade cíclica do produto misto: para quaisquer vetores u,v,x,
ucdot(vtimesx) =(utimesv)cdotx
Definindo a=utimesv, concluímos que a função escalar
f(x)=ucdot(vtimesx)
é equivalente a
f(x)=acdotx

Passo 3

Sabendo que a é constante, aplicamos a propriedade do gradiente de um produto escalar linear:
nabla(acdotx)=a
Logo
nablal(ucdot(vtimesx)r) =nabla(acdotx) =a =utimesv

Resposta

nablal(ucdot(vtimesx)r) =utimesv

Exercícios relacionados