Q13: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é uma projeção ortogonal em um plano do
, então
.
II - Se
é uma reflexão em torno de uma reta do
, então
.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado trata de operadores lineares em
:
I - é projeção ortogonal num plano de
, e pergunta se
.
II - é reflexão em torno de uma reta em
, e pergunta se
.
Para resolver vamos usar a ideia de autovalores (valores próprios) e a relação da determinante com o produto dos autovalores.
I -
II -
Para resolver vamos usar a ideia de autovalores (valores próprios) e a relação da determinante com o produto dos autovalores.
Passo 2
Projetação ortogonal num plano tem autovalores
(multiplicidade 2, vetores no plano) e
(multiplicidade 1, vetor normal ao plano). Logo os autovalores de
são
e
Como a determinante é o produto dos autovalores,
Portanto a afirmativa I é verdadeira.
Passo 3
Reflexão em torno de uma reta fixa no espaço tem autovalor
(direção da reta, uma vez) e autovalor
(no plano perpendicular, duas vezes). Então os autovalores de
são
e
Assim
Logo a afirmativa II também é verdadeira.
Passo 4
Concluímos que ambas as afirmativas I e II são verdadeiras.
Resposta
(D) Todas são verdadeiras.