Q13: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se T é uma projeção ortogonal em um plano do \mathbb{R}^{3}, então \operatorname{det}(T+3 I) \neq 0.
II - Se R é uma reflexão em torno de uma reta do \mathbb{R}^{3}, então \operatorname{det}(R-I)=0.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado trata de operadores lineares em \mathbb{R}^3:
I - T é projeção ortogonal num plano de \mathbb{R}^3, e pergunta se \det(T+3I)\neq0.
II - R é reflexão em torno de uma reta em \mathbb{R}^3, e pergunta se \det(R-I)=0.
Para resolver vamos usar a ideia de autovalores (valores próprios) e a relação da determinante com o produto dos autovalores.

Passo 2

Projetação ortogonal num plano tem autovalores 1 (multiplicidade 2, vetores no plano) e 0 (multiplicidade 1, vetor normal ao plano). Logo os autovalores de T+3I são
1+3=4\quad(\text{duas vezes})
e
0+3=3\quad(\text{uma vez}).
Como a determinante é o produto dos autovalores,
\det(T+3I)=4\cdot4\cdot3=48\neq0.
Portanto a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Reflexão em torno de uma reta fixa no espaço tem autovalor 1 (direção da reta, uma vez) e autovalor -1 (no plano perpendicular, duas vezes). Então os autovalores de R-I são
1-1=0\quad(\text{uma vez})
e
-1-1=-2\quad(\text{duas vezes}).
Assim
\det(R-I)=0\cdot(-2)\cdot(-2)=0.
Logo a afirmativa II também é verdadeira.

Passo 4

Concluímos que ambas as afirmativas I e II são verdadeiras.

Resposta

(D) Todas são verdadeiras.

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