Q10: Considere a sequência formada pela lei de recorrência x_{n+2}=-2 x_{n}+\frac{9}{2} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=18, para que valor de x_{2} temos \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}n \rightarrow \infty \\\ x_{n} \\\ x_{n+1}\end{array}\right] e note que
\vec{v}_{n+1}=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ -2 & 9 / 2 \end{array}\right] \vec{v}_{n} \quad \text { para } n=1,2,3, \ldots
Portanto \vec{v}_{n+1}=\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ -2 & 9 / 2\end{array}\right]^{n} \vec{v}_{1}.
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado define a sequência de recorrência linear de segunda ordem
x_{n+2} = -2\cdot x_{n} + \frac{9}{2}\cdot x_{n+1},
com x_{1}=18 e pergunta qual x_{2} garante que \lim_{n\to\infty}x_{n}=0. Vamos usar o método do polinômio característico para resolver essa sequência.

Passo 2

O polinômio característico associado é
\lambda^2 - \frac{9}{2}\,\lambda + 2 = 0.
Resolvendo-o:
\lambda = \frac{\tfrac{9}{2}\pm\sqrt{\bigl(\tfrac{9}{2}\bigr)^2 - 4\cdot2}}{2} = \frac{\tfrac{9}{2}\pm \tfrac{7}{2}}{2},
logo as raízes são \lambda_1=4 e \lambda_2=\tfrac12.

Passo 3

A solução geral da recorrência é
x_n = A\cdot 4^{\,n-1} + B\cdot \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{n-1}.
Para que \lim_{n\to\infty}x_n=0, o termo que cresce como 4^{n-1} deve ser nulo, isto é, A=0.

Passo 4

Com A=0 temos x_n = B\,(1/2)^{n-1}. Como x_1=18,
18 = B\cdot(1/2)^0 = B,
logo B=18. Portanto
x_2 = 18\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^1 = 9.

Resposta

(H)

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