Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) \frac{3}{4}
(B) \frac{1}{2}
(C) \frac{4}{5}
(D) -\frac{1}{2}
(E) -\frac{3}{4}
(F) -\frac{4}{5}
(G) -\frac{3}{5}
(H) \frac{3}{5}
e pergunta qual é o cosseno do ângulo de rotação associado a essa matriz de rotação em \mathbb{R}^3. A dica sugere: determinar o eixo de rotação (uma direção fixa), escolher uma direção ortogonal a esse eixo e calcular o ângulo pelo efeito da rotação nessa direção.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
R \text{ (matriz de rotação) é dada explicitamente.}çãé
O objetivo final é encontrar \cos\theta, onde \theta é o ângulo de rotação.]
Passo 2
Conceito importante (explicado devagar): para uma rotação em \mathbb{R}^3 em torno de um eixo que passa pela origem, o eixo é formado pelos vetores próprios de R com autovalor 1. Ou seja, se v é um vetor no eixo, então Rv=v. Assim, para encontrar o eixo devemos resolver (R-I)v=0. Aqui I é a matriz identidade 3\times3. Isso me dá um sistema linear para encontrar um vetor não-nulo v tal que Rv=v.
Passo 3
Calcular R-I. É mais simples trabalhar com a matriz inteira antes de multiplicar por 1/45. Escrevo a matriz inteira M tal que R=\frac{1}{45}M, com
Escolher um vetor w ortogonal ao eixo para medir a rotação: precisamos de um vetor não-nulo com u\cdot w=0. Mais simples é tomar um vetor inteiro que satisfaça v\cdot w=0 (mesma condição já que u é múltiplo de v). A equação v\cdot w= x -2y +2z = 0 é fácil de satisfazer. Tomo, por simplicidade,
w=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},
pois v\cdot w = 1\cdot 0 + (-2)\cdot 1 + 2\cdot 1 = 0. Além disso \|w\|^2 = 0^2+1^2+1^2=2.]
Passo 7
Calcular Rw. Lembro que R=\frac{1}{45}M. Primeiro computo M w:
Usar o produto interno para obter \cos\theta. Se w é ortogonal ao eixo, a rotação age em w apenas girando-o num plano orthogonal ao eixo, preservando comprimento; assim
Interpretação final e verificação rápida: obtivemos \cos\theta=\tfrac{3}{5}. Isso é compatível com uma rotação (valor entre -1 e 1). (Como checagem alternativa rápida: para uma rotação em \mathbb{R}^3 a traça satisfaz \operatorname{tr}(R)=1+2\cos\theta; aqui \operatorname{tr}(M)=29+35+35=99, então \operatorname{tr}(R)=99/45=11/5 e 11/5=1+2\cos\theta dá \cos\theta=(11/5-1)/2=(6/5)/2=3/5, mesma resposta — bom sinal.)