Q12: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em \mathbb{R}^{3} :
R=\frac{1}{45}\left[\begin{array}{rrr} 29 & -28 & -20 \\\\ 20 & 35 & -20 \\\\ 28 & 4 & 35 \end{array}\right]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) \frac{3}{4}
(B) \frac{1}{2}
(C) \frac{4}{5}
(D) -\frac{1}{2}
(E) -\frac{3}{4}
(F) -\frac{4}{5}
(G) -\frac{3}{5}
(H) \frac{3}{5}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
R=\frac{1}{45}\begin{pmatrix}29 & -28 & -20 \\[4pt] 20 & 35 & -20 \\[4pt] 28 & 4 & 35\end{pmatrix}
e pergunta qual é o cosseno do ângulo de rotação associado a essa matriz de rotação em \mathbb{R}^3. A dica sugere: determinar o eixo de rotação (uma direção fixa), escolher uma direção ortogonal a esse eixo e calcular o ângulo pelo efeito da rotação nessa direção.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
R \text{ (matriz de rotação) é dada explicitamente.}çãé
O objetivo final é encontrar \cos\theta, onde \theta é o ângulo de rotação.]

Passo 2

Conceito importante (explicado devagar): para uma rotação em \mathbb{R}^3 em torno de um eixo que passa pela origem, o eixo é formado pelos vetores próprios de R com autovalor 1. Ou seja, se v é um vetor no eixo, então Rv=v. Assim, para encontrar o eixo devemos resolver (R-I)v=0. Aqui I é a matriz identidade 3\times3. Isso me dá um sistema linear para encontrar um vetor não-nulo v tal que Rv=v.

Passo 3

Calcular R-I. É mais simples trabalhar com a matriz inteira antes de multiplicar por 1/45. Escrevo a matriz inteira M tal que R=\frac{1}{45}M, com
M=\begin{pmatrix}29 & -28 & -20 \\[4pt] 20 & 35 & -20 \\[4pt] 28 & 4 & 35\end{pmatrix}.
Então
R-I=\frac{1}{45}\big(M-45I\big).
Compute M-45I:
M-45I=\begin{pmatrix}29-45 & -28 & -20 \\[4pt] 20 & 35-45 & -20 \\[4pt] 28 & 4 & 35-45\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-16 & -28 & -20 \\[4pt] 20 & -10 & -20 \\[4pt] 28 & 4 & -10\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver (M-45I)v=0\) (equivalente a \((R-I)v=0\)). Escrevo o sistema para \(v=(x,y,z)\): \[\begin{cases} -16x -28y -20z = 0,\\[4pt] 20x -10y -20z = 0,\\[4pt] 28x +4y -10z = 0. \end{cases}
Posso simplificar dividindo as equações por 2\]: \[\begin{cases} -8x -14y -10z = 0,\\[4pt] 10x -5y -10z = 0,\\[4pt] 14x +2y -5z = 0. \end{cases}\] Da segunda equação: \(10x -5y -10z=0 \Rightarrow dividir por 5 2x - y - 2z = 0, então
y = 2x - 2z.
Substituo essa relação na primeira equação:
-8x -14(2x-2z) -10z = 0 \Rightarrow -8x -28x +28z -10z = 0.
Isso simplifica para -36x +18z = 0, ou seja z = 2x. Então y = 2x - 2z = 2x - 4x = -2x. Logo uma solução não-nula é, escolhendo x=1,
v = \begin{pmatrix}1 \\[4pt] -2 \\[4pt] 2\end{pmatrix}.
Verificação rápida (ter paz de espírito): substituir em terceira equação 14(1)+2(-2)-5(2)=14-4-10=0 confirma que é solução.]

Passo 5

Normalizar o vetor eixo (só para interpretação): o comprimento de v é \|v\|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{9}=3. Então o versor do eixo é
u=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{3}\\[4pt]-\tfrac{2}{3}\\[4pt]\tfrac{2}{3}\end{pmatrix}.
Intuição: u é o eixo que fica fixo pela rotação.]

Passo 6

Escolher um vetor w ortogonal ao eixo para medir a rotação: precisamos de um vetor não-nulo com u\cdot w=0. Mais simples é tomar um vetor inteiro que satisfaça v\cdot w=0 (mesma condição já que u é múltiplo de v). A equação v\cdot w= x -2y +2z = 0 é fácil de satisfazer. Tomo, por simplicidade,
w=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix},
pois v\cdot w = 1\cdot 0 + (-2)\cdot 1 + 2\cdot 1 = 0. Além disso \|w\|^2 = 0^2+1^2+1^2=2.]

Passo 7

Calcular Rw. Lembro que R=\frac{1}{45}M. Primeiro computo M w:
M\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}29\cdot0 + (-28)\cdot1 + (-20)\cdot1 \\[4pt] 20\cdot0 + 35\cdot1 + (-20)\cdot1 \\[4pt] 28\cdot0 + 4\cdot1 + 35\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-48\\[4pt]15\\[4pt]39\end{pmatrix}.
Logo
Rw=\frac{1}{45}\begin{pmatrix}-48\\[4pt]15\\[4pt]39\end{pmatrix}.]

Passo 8

Usar o produto interno para obter \cos\theta. Se w é ortogonal ao eixo, a rotação age em w apenas girando-o num plano orthogonal ao eixo, preservando comprimento; assim
w\cdot (Rw)=\|w\|^2\cos\theta.
Calculo w\cdot (Rw):
w\cdot (Rw)=\begin{pmatrix}0&1&1\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{45}\begin{pmatrix}-48\\[4pt]15\\[4pt]39\end{pmatrix} =\frac{1}{45}\big(0\cdot(-48)+1\cdot15+1\cdot39\big)=\frac{54}{45}.
Como \|w\|^2=2, segue que
\cos\theta=\frac{w\cdot (Rw)}{\|w\|^2}=\frac{54/45}{2}=\frac{54}{90}=\frac{3}{5}.]

Passo 9

Interpretação final e verificação rápida: obtivemos \cos\theta=\tfrac{3}{5}. Isso é compatível com uma rotação (valor entre -1 e 1). (Como checagem alternativa rápida: para uma rotação em \mathbb{R}^3 a traça satisfaz \operatorname{tr}(R)=1+2\cos\theta; aqui \operatorname{tr}(M)=29+35+35=99, então \operatorname{tr}(R)=99/45=11/5 e 11/5=1+2\cos\theta \cos\theta=(11/5-1)/2=(6/5)/2=3/5, mesma resposta — bom sinal.)

Resposta

\tfrac{3}{5}

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