Q14: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(9 x-8 y+3 z, \frac{y}{9}-2 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 4. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é igual ao volume de Q.
(B) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(C) é menor do que o volume de Q.
(D) é maior do que o volume de Q.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}
e diz que Q\subset\mathbb{R}^{3} é um paralelepípedo com volume 4. A pergunta é: qual é o volume do paralelepípedo transformado T(Q)? (Escolher entre as opções (A)–(D) fornecidas.)
Dados relevantes listados:
A transformação linear T está dada explicitamente pelos componentes acima.
O volume de Q é 4.
Queremos comparar o volume de T(Q) com o de Q e escolher a opção correta.
Passo 2
Vamos representar T por uma matriz em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}. Para isso, escrevemos as imagens dos vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) como colunas da matriz. Observando T:
Agora uma pequena aula sobre por que a matriz e o determinante importam para o volume (não se assuste, é simples e super útil na prova).
Definição prática: se você tem um paralelepípedo em \mathbb{R}^3 gerado por vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3, seu volume (com sinal) é o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
O volume geométrico positivo é o valor absoluto desse determinante.
Propriedade chave: uma transformação linear representada por matriz A multiplica volumes por um fator igual a \det(A) (mais precisamente pelo valor absoluto |\det(A)|). Ou seja, se Q tem volume \text{Vol}(Q), então
Exemplinho 2D rápido (intuitivo): a matriz \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix} estica horizontal por 2 e vertical por 3; áreas ficam multiplicadas por 2\cdot 3=6, que é exatamente o determinante.
Essa propriedade é o que vamos usar: calcular \det(A) e multiplicar o volume de Q por |\det(A)|.
Passo 4
Calcular \det(A). A matriz A que obtivemos é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares vale a regra simples: o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal principal tem entradas 9, \tfrac{1}{9} e 1. Logo
Conclusão prática para a prova (dica rápida): ao ver uma transformação linear e um pedido sobre área/volume, sempre escreva a matriz e calcule o determinante. Se a matriz for triangular, fica rapidinho pelo produto da diagonal — ótimo para prova sem calculadora.