Q14: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(9 x-8 y+3 z, \frac{y}{9}-2 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 4. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é igual ao volume de Q.
(B) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(C) é menor do que o volume de Q.
(D) é maior do que o volume de Q.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}
T(x,y,z)=\left(9x-8y+3z,\;\frac{y}{9}-2z,\;z\right)
e diz que Q\subset\mathbb{R}^{3} é um paralelepípedo com volume 4. A pergunta é: qual é o volume do paralelepípedo transformado T(Q)? (Escolher entre as opções (A)–(D) fornecidas.)
Dados relevantes listados:
  • A transformação linear T está dada explicitamente pelos componentes acima.
  • O volume de Q é 4.
  • Queremos comparar o volume de T(Q) com o de Q e escolher a opção correta.

Passo 2

Vamos representar T por uma matriz em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}. Para isso, escrevemos as imagens dos vetores (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) como colunas da matriz. Observando T:
  • T(1,0,0)=(9,0,0),
  • T(0,1,0)=(-8,\tfrac{1}{9},0),
  • T(0,0,1)=(3,-2,1).
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix} 9 & -8 & 3\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{9} & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora uma pequena aula sobre por que a matriz e o determinante importam para o volume (não se assuste, é simples e super útil na prova).
  • Definição prática: se você tem um paralelepípedo em \mathbb{R}^3 gerado por vetores \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3, seu volume (com sinal) é o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\text{vol}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)=\det\bigl([\mathbf{v}_1\\ \mathbf{v}_2\\ \mathbf{v}_3]\bigr).
O volume geométrico positivo é o valor absoluto desse determinante.
  • Propriedade chave: uma transformação linear representada por matriz A multiplica volumes por um fator igual a \det(A) (mais precisamente pelo valor absoluto |\det(A)|). Ou seja, se Q tem volume \text{Vol}(Q), então
\text{Vol}\bigl(T(Q)\bigr)=|\det(A)|\cdot\text{Vol}(Q).
  • Exemplinho 2D rápido (intuitivo): a matriz \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&3\end{pmatrix} estica horizontal por 2 e vertical por 3; áreas ficam multiplicadas por 2\cdot 3=6, que é exatamente o determinante.
Essa propriedade é o que vamos usar: calcular \det(A) e multiplicar o volume de Q por |\det(A)|.

Passo 4

Calcular \det(A). A matriz A que obtivemos é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares vale a regra simples: o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui a diagonal principal tem entradas 9, \tfrac{1}{9} e 1. Logo
\det(A)=9\cdot \tfrac{1}{9}\cdot 1.
Fazendo a multiplicação:
9\cdot \tfrac{1}{9}=1,\quad\text{logo}\quad \det(A)=1.

Passo 5

Como o fator de escala de volumes é |\det(A)|, aqui |\det(A)|=|1|=1. Portanto T preserva volumes: o volume de T(Q) é igual ao volume de Q.
Concretamente,
\text{Vol}\bigl(T(Q)\bigr)=|\det(A)|\cdot\text{Vol}(Q)=1\cdot 4=4.

Passo 6

Conclusão prática para a prova (dica rápida): ao ver uma transformação linear e um pedido sobre área/volume, sempre escreva a matriz e calcule o determinante. Se a matriz for triangular, fica rapidinho pelo produto da diagonal — ótimo para prova sem calculadora.

Resposta

(A)

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