Observações sobre a matriz (dados importantes que vou usar depois): nas linhas 1,2,3 há entradas não nulas nas colunas 1 até 8; nas linhas 4,5 as entradas nas colunas 1,2,3 são 0; nas linhas 6,7,8 as entradas nas colunas 1,2,3,4,5 são 0. Em outras palavras, se eu agrupar índices em blocos 1\!:\!3, 4\!:\!5, 6\!:\!8, a matriz A tem zeros estritamente abaixo desses blocos na diagonal — ou seja, é uma matriz em forma de blocos triangular superior. (Vou explorar isso na resolução.)
Passo 2
Conceito essencial que vou usar (mini-aula): se uma matriz quadrada tem forma de bloco triangular superior
Explicando de forma simples: por triangularidade em blocos, o determinante do todo é o produto dos determinantes dos blocos diagonais (do mesmo jeito que para uma matriz triangular normal o determinante é produto das entradas diagonais). Isso simplifica muito o cálculo: basta calcular os polinômios característicos dos blocos diagonais e multiplicá-los.
Passo 3
Identifico os blocos diagonais de A segundo a partição 1\!:\!3,\;4\!:\!5,\;6\!:\!8.
Bloco superior esquerdo B_{11} (linhas e colunas 1 a 3):
Note que a terceira coluna tem zeros nas duas primeiras entradas e apenas -5-\lambda na terceira. Assim posso expandir o determinante pela terceira coluna (ou observar que o bloco é quase triangular):
Observação sobre forma: (-5-\lambda)=( -1)(\lambda+5), então (-5-\lambda)(\lambda+5)^2=-(\lambda+5)^3. Mas como as alternativas usam fatores do tipo (-5-\lambda) e (5-\lambda), é conveniente manter (-5-\lambda)^3 quando apropriado: note que (-5-\lambda)^3=-(\lambda+5)^3, e nosso resultado é igual a (-5-\lambda)^3. Concluímos que o bloco B_{11} contribui com um fator correspondente ao autovalor -5 de multiplicidade 3.]
Em termos das formas das alternativas, (\lambda+3)^2 é igual a (-3-\lambda)^2. Ou seja, o bloco B_{22} contribui com autovalor -3 de multiplicidade 2.]
Em termos das alternativas, (-3-\lambda) é igual a -( \lambda+3), e (\lambda-5)^2 é igual a (5-\lambda)^2 até um sinal que ao quadrado desaparece — de fato (\lambda-5)^2=(5-\lambda)^2. Assim o bloco B_{33} contribui com um fator (-3-\lambda) e com (5-\lambda)^2: autovalor -3 com multiplicidade 1 e autovalor 5 com multiplicidade 2.]
Passo 7
Multiplico os polinômios característicos dos blocos para obter o polinômio característico de A.