Q13: Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 1 & 0 & 6 & 5 & 5 & 5 & 1 \\\\ -36 & -11 & 0 & -5 & -5 & -7 & 1 & -6 \\\\ 3 & 4 & -5 & 3 & -5 & -1 & -5 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & -7 & 4 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & -4 & -5 & -4 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -9 & 8 \end{array}\right]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(3-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}(4-\lambda)
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{2}
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(3-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{3}(2-\lambda)^{2}
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(3-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{3}(2-\lambda)(4-\lambda)
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}(5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(3-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{2}(5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)(-4-\lambda)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz A de ordem 8 e, no final, escolher a alternativa correta entre (A) a (H).
Informações relevantes fornecidas (extraídas do enunciado):
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 1 & 0 & 6 & 5 & 5 & 5 & 1 \\\\ -36 & -11 & 0 & -5 & -5 & -7 & 1 & -6 \\\\ 3 & 4 & -5 & 3 & -5 & -1 & -5 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & -7 & 4 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & -4 & -5 & -4 & 3 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & -9 & 8 \end{array}\right]
Observações sobre a matriz (dados importantes que vou usar depois): nas linhas 1,2,3 há entradas não nulas nas colunas 1 até 8; nas linhas 4,5 as entradas nas colunas 1,2,3 são 0; nas linhas 6,7,8 as entradas nas colunas 1,2,3,4,5 são 0. Em outras palavras, se eu agrupar índices em blocos 1\!:\!3, 4\!:\!5, 6\!:\!8, a matriz A tem zeros estritamente abaixo desses blocos na diagonal — ou seja, é uma matriz em forma de blocos triangular superior. (Vou explorar isso na resolução.)

Passo 2

Conceito essencial que vou usar (mini-aula): se uma matriz quadrada tem forma de bloco triangular superior
A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\\\ 0 & A_{22} & A_{23} \\\\ 0 & 0 & A_{33} \end{pmatrix},
onde os A_{ii} são blocos quadrados, então o determinante de A-\lambda I (isto é, o polinômio característico) se factoriza como
\det(A-\lambda I)=\det(A_{11}-\lambda I)\cdot\det(A_{22}-\lambda I)\cdot\det(A_{33}-\lambda I).
Explicando de forma simples: por triangularidade em blocos, o determinante do todo é o produto dos determinantes dos blocos diagonais (do mesmo jeito que para uma matriz triangular normal o determinante é produto das entradas diagonais). Isso simplifica muito o cálculo: basta calcular os polinômios característicos dos blocos diagonais e multiplicá-los.

Passo 3

Identifico os blocos diagonais de A segundo a partição 1\!:\!3,\;4\!:\!5,\;6\!:\!8.
Bloco superior esquerdo B_{11} (linhas e colunas 1 a 3):
B_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[2pt] -36 & -11 & 0\\[2pt] 3 & 4 & -5 \end{pmatrix}.
Bloco do meio B_{22} (linhas e colunas 4 e 5):
B_{22}=\begin{pmatrix} -1 & 1\\[2pt] -4 & -5 \end{pmatrix}.
Bloco inferior direito B_{33} (linhas e colunas 6 a 8):
B_{33}=\begin{pmatrix} -3 & 0 & 0\\[2pt] -2 & 2 & 1\\[2pt] -3 & -9 & 8 \end{pmatrix}.
Segundo o item da mini-aula, vou calcular \det(B_{11}-\lambda I), \det(B_{22}-\lambda I) e \det(B_{33}-\lambda I) e depois multiplicar.]

Passo 4

Cálculo detalhado de \det(B_{11}-\lambda I).
Escrevo
B_{11}-\lambda I=\begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\[2pt] -36 & -11-\lambda & 0\\[2pt] 3 & 4 & -5-\lambda \end{pmatrix}.
Note que a terceira coluna tem zeros nas duas primeiras entradas e apenas -5-\lambda na terceira. Assim posso expandir o determinante pela terceira coluna (ou observar que o bloco é quase triangular):
\det(B_{11}-\lambda I)=(-5-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[2pt]-36 & -11-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calculo o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 1\\[2pt]-36 & -11-\lambda\end{pmatrix}=(1-\lambda)(-11-\lambda)-1\cdot(-36).
Faço as contas passo a passo:
(1-\lambda)(-11-\lambda) = \lambda^2+10\lambda-11,
e somando +36 (porque -1\cdot(-36)=+36):
\lambda^2+10\lambda-11+36=\lambda^2+10\lambda+25=(\lambda+5)^2.
Portanto
\det(B_{11}-\lambda I)=(-5-\lambda)\,(\lambda+5)^2.
Observação sobre forma: (-5-\lambda)=( -1)(\lambda+5), então (-5-\lambda)(\lambda+5)^2=-(\lambda+5)^3. Mas como as alternativas usam fatores do tipo (-5-\lambda) e (5-\lambda), é conveniente manter (-5-\lambda)^3 quando apropriado: note que (-5-\lambda)^3=-(\lambda+5)^3, e nosso resultado é igual a (-5-\lambda)^3. Concluímos que o bloco B_{11} contribui com um fator correspondente ao autovalor -5 de multiplicidade 3.]

Passo 5

Cálculo detalhado de \det(B_{22}-\lambda I).
Escrevo
B_{22}-\lambda I=\begin{pmatrix} -1-\lambda & 1\\[2pt] -4 & -5-\lambda \end{pmatrix}.
O determinante é
\det(B_{22}-\lambda I)=(-1-\lambda)(-5-\lambda)-1\cdot(-4).
Faço as contas:
(-1-\lambda)(-5-\lambda)=(\lambda+1)(\lambda+5)=\lambda^2+6\lambda+5,
e somando +4 (pois -1\cdot(-4)=+4):
\lambda^2+6\lambda+5+4=\lambda^2+6\lambda+9=(\lambda+3)^2.
Logo
\det(B_{22}-\lambda I)=(\lambda+3)^2.
Em termos das formas das alternativas, (\lambda+3)^2 é igual a (-3-\lambda)^2. Ou seja, o bloco B_{22} contribui com autovalor -3 de multiplicidade 2.]

Passo 6

Cálculo detalhado de \det(B_{33}-\lambda I).
Escrevo
B_{33}-\lambda I=\begin{pmatrix} -3-\lambda & 0 & 0\\[2pt] -2 & 2-\lambda & 1\\[2pt] -3 & -9 & 8-\lambda \end{pmatrix}.
A primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3, então posso desenvolver pela primeira linha e obter:
\det(B_{33}-\lambda I)=(-3-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[2pt]-9 & 8-\lambda\end{pmatrix}.
Agora o 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[2pt]-9 & 8-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(8-\lambda)-1\cdot(-9).
Faço as contas:
(2-\lambda)(8-\lambda)=\lambda^2-10\lambda+16,
somando +9 fica
\lambda^2-10\lambda+25=(\lambda-5)^2.
Portanto
\det(B_{33}-\lambda I)=(-3-\lambda)\,(\lambda-5)^2.
Em termos das alternativas, (-3-\lambda) é igual a -( \lambda+3), e (\lambda-5)^2 é igual a (5-\lambda)^2 até um sinal que ao quadrado desaparece — de fato (\lambda-5)^2=(5-\lambda)^2. Assim o bloco B_{33} contribui com um fator (-3-\lambda) e com (5-\lambda)^2: autovalor -3 com multiplicidade 1 e autovalor 5 com multiplicidade 2.]

Passo 7

Multiplico os polinômios característicos dos blocos para obter o polinômio característico de A.
Dos passos anteriores:
\det(B_{11}-\lambda I)=(-5-\lambda)^3,
\det(B_{22}-\lambda I)=(-3-\lambda)^2,
\det(B_{33}-\lambda I)=(-3-\lambda)(5-\lambda)^2.
Multiplicando:
\det(A-\lambda I)=(-5-\lambda)^3\cdot(-3-\lambda)^2\cdot\bigl((-3-\lambda)(5-\lambda)^2\bigr).
Juntando os fatores (-3-\lambda):
\det(A-\lambda I)=(-5-\lambda)^3\cdot(-3-\lambda)^3\cdot(5-\lambda)^2.

Passo 8

Comparo com as alternativas dadas. A alternativa que coincide exatamente com
p_c^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^3(-3-\lambda)^3(5-\lambda)^2
é a alternativa (B).

Resposta

(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{2}

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