Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine cixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) \frac{3}{4}
(B) -\frac{3}{5}
(C) -\frac{3}{4}
(D) -\frac{1}{2}
(E) -\frac{4}{5}
(F) \frac{1}{2}
(G) \frac{4}{5}
(H) \frac{3}{5}
Passo 1
O enunciado dá a matriz de rotação em \mathbb{R}^{3}
e pergunta qual é o cosseno do ângulo de rotação.
Informações relevantes:
R é uma matriz de rotação em torno de um eixo que passa pela origem.
O eixo de rotação corresponde a vetores fixos por R, isto é, vetores v tais que R v = v.
Se encontrarmos um vetor u ortogonal ao eixo, então R age em u como uma rotação no plano ortogonal ao eixo; o cosseno do ângulo \theta é o produto escalar entre u e R u normalizado adequadamente.
Passo 2
Primeiro vamos achar o eixo de rotação: procuramos v\neq 0\) tal que \(R v = v\). Isso equivale a \((R-I)v=0\). Para evitar frações, escrevemos \(R=\frac{1}{45}A\) com
\[A=\begin{pmatrix} 35 & 4 & 28 \\\\ -20 & 35 & 20 \\\\ -20 & -28 & 29 \end{pmatrix},
então (R-I)v=0 é equivalente a (A-45I)v=0. Calculamos
Da segunda equação isolamos y\]:
\[y=-2x+2z.\]
Substituindo na primeira:
\[-5x+2(-2x+2z)+14z=-5x-4x+4z+14z=-9x+18z=0\implies x=2z.\]
Logo \(y=-2x+2z=-4z+2z=-2z. Tomando z=1 escolhemos o vetor de eixo
v=\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: (A-45I)v=0 confirma que v é eigenvetor com autovalor 1.]
Passo 3
Agora precisamos de um vetor u ortogonal ao eixo para medir o ângulo de rotação no plano ortogonal. Dois vetores são ortogonais se seu produto escalar é zero. Tomemos um vetor simples, por exemplo
R u = \frac{1}{45}\begin{pmatrix}39\\\ 15\\\ -48\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{39}{45}\\[4pt]\tfrac{15}{45}\\[4pt]\tfrac{-48}{45}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{13}{15}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{-16}{15}\end{pmatrix}.]
Passo 5
Uma rotação preserva normas, então \|R u\|=\|u\|. O cosseno do ângulo \theta entre u e R u é
(Facilitador / checagem rápida) Outra maneira rápida de confirmar: para uma rotação em \mathbb{R}^{3} com ângulo \theta e eixo passando pela origem vale a fórmula
\operatorname{tr}(R)=1+2\cos\theta.
Calculamos \operatorname{tr}(R)=\frac{1}{45}(35+35+29)=\frac{99}{45}=\frac{11}{5}. Assim