Q12: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em \mathbb{R}^{3} :
R=\frac{1}{45}\left[\begin{array}{rrr} 35 & 4 & 28 \\\\ -20 & 35 & 20 \\\\ -20 & -28 & 29 \end{array}\right]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine cixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) \frac{3}{4}
(B) -\frac{3}{5}
(C) -\frac{3}{4}
(D) -\frac{1}{2}
(E) -\frac{4}{5}
(F) \frac{1}{2}
(G) \frac{4}{5}
(H) \frac{3}{5}

Passo 1

O enunciado dá a matriz de rotação em \mathbb{R}^{3}
R=\frac{1}{45}\begin{pmatrix} 35 & 4 & 28 \\\\ -20 & 35 & 20 \\\\ -20 & -28 & 29 \end{pmatrix}
e pergunta qual é o cosseno do ângulo de rotação.
Informações relevantes:
  • R é uma matriz de rotação em torno de um eixo que passa pela origem.
  • O eixo de rotação corresponde a vetores fixos por R, isto é, vetores v tais que R v = v.
  • Se encontrarmos um vetor u ortogonal ao eixo, então R age em u como uma rotação no plano ortogonal ao eixo; o cosseno do ângulo \theta é o produto escalar entre u e R u normalizado adequadamente.

Passo 2

Primeiro vamos achar o eixo de rotação: procuramos v\neq 0\) tal que \(R v = v\). Isso equivale a \((R-I)v=0\). Para evitar frações, escrevemos \(R=\frac{1}{45}A\) com \[A=\begin{pmatrix} 35 & 4 & 28 \\\\ -20 & 35 & 20 \\\\ -20 & -28 & 29 \end{pmatrix},
então (R-I)v=0 é equivalente a (A-45I)v=0. Calculamos
A-45I=\begin{pmatrix} 35-45 & 4 & 28 \\\\ -20 & 35-45 & 20 \\\\ -20 & -28 & 29-45 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 4 & 28 \\\\ -20 & -10 & 20 \\\\ -20 & -28 & -16 \end{pmatrix}.
Resolvemos o sistema (A-45I)v=0. Seja v=(x,y,z)^{T}. As equações são
\begin{cases} -10x+4y+28z=0,\\[4pt] -20x-10y+20z=0,\\[4pt] -20x-28y-16z=0. \end{cases}
Dividindo a primeira por 2\] e a segunda por \[10 (para simplificar) obtemos
\begin{cases} -5x+2y+14z=0,\\[4pt] -2x-y+2z=0,\\[4pt] -20x-28y-16z=0. \end{cases}
Da segunda equação isolamos y\]: \[y=-2x+2z.\] Substituindo na primeira: \[-5x+2(-2x+2z)+14z=-5x-4x+4z+14z=-9x+18z=0\implies x=2z.\] Logo \(y=-2x+2z=-4z+2z=-2z. Tomando z=1 escolhemos o vetor de eixo
v=\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.
Verificação rápida: (A-45I)v=0 confirma que v é eigenvetor com autovalor 1.]

Passo 3

Agora precisamos de um vetor u ortogonal ao eixo para medir o ângulo de rotação no plano ortogonal. Dois vetores são ortogonais se seu produto escalar é zero. Tomemos um vetor simples, por exemplo
u=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Calculamos o produto escalar v\cdot u:
v\cdot u = 2\cdot 1 + (-2)\cdot 1 + 1\cdot 0 = 2-2+0 = 0.
Portanto u é ortogonal ao eixo, ótimo — é um vetor conveniente para usar.

Passo 4

Aplicamos R em u. Usamos R=\tfrac{1}{45}A, então
A u = \begin{pmatrix} 35 & 4 & 28 \\\\ -20 & 35 & 20 \\\\ -20 & -28 & 29 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 35\cdot1 + 4\cdot1 + 28\cdot0\\[4pt] -20\cdot1 + 35\cdot1 + 20\cdot0\\[4pt] -20\cdot1 -28\cdot1 + 29\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}39\\[4pt]15\\[4pt]-48\end{pmatrix}.
Logo
R u = \frac{1}{45}\begin{pmatrix}39\\\ 15\\\ -48\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{39}{45}\\[4pt]\tfrac{15}{45}\\[4pt]\tfrac{-48}{45}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{13}{15}\\[4pt]\tfrac{1}{3}\\[4pt]\tfrac{-16}{15}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Uma rotação preserva normas, então \|R u\|=\|u\|. O cosseno do ângulo \theta entre u e R u é
\cos\theta=\frac{u\cdot (R u)}{\|u\|\;\|R u\|}=\frac{u\cdot (R u)}{\|u\|^{2}},
pois \|R u\|=\|u\|. Calculamos os termos:
u\cdot (R u) = (1,1,0)\cdot\begin{pmatrix}\tfrac{39}{45}\\[4pt]\tfrac{15}{45}\\[4pt]\tfrac{-48}{45}\end{pmatrix} =\frac{39+15}{45}=\frac{54}{45}.
E
\|u\|^{2}=1^{2}+1^{2}+0^{2}=2.
Portanto
\cos\theta=\frac{\tfrac{54}{45}}{2}=\frac{54}{90}=\frac{27}{45}=\frac{3}{5}.]

Passo 6

(Facilitador / checagem rápida) Outra maneira rápida de confirmar: para uma rotação em \mathbb{R}^{3} com ângulo \theta e eixo passando pela origem vale a fórmula
\operatorname{tr}(R)=1+2\cos\theta.
Calculamos \operatorname{tr}(R)=\frac{1}{45}(35+35+29)=\frac{99}{45}=\frac{11}{5}. Assim
\cos\theta=\frac{\operatorname{tr}(R)-1}{2}=\frac{\tfrac{11}{5}-1}{2}=\frac{\tfrac{6}{5}}{2}=\frac{3}{5},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

(H) \frac{3}{5}

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