Q3: Calcule \operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 6 & 5 & 8 & 7 \\\\ 1 & 6 & 6 & 8 & 7 \\\\ -2 & -7 & -7 & -6 & -8\end{array}\right]\right).
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) -15
(B) -14
(C) -13
(D) -12
(E) -11
(F) -10
(G) -9
(H) -8

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o determinante da matriz 5\times5
\det\left(\begin{bmatrix} 0 & 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 6 & 5 & 8 & 7 \\\\ 1 & 6 & 6 & 8 & 7 \\\\ -2 & -7 & -7 & -6 & -8 \end{bmatrix}\right).
Informações relevantes fornecidas:
A=\begin{bmatrix} 0 & 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 6 & 5 & 8 & 7 \\\\ 1 & 6 & 6 & 8 & 7 \\\\ -2 & -7 & -7 & -6 & -8 \end{bmatrix}.
Não há mais perguntas — só calcular o determinante de A. Vamos resolver por escalonamento, conforme a dica.

Passo 2

Revisão curta (útil para a prova): regras de operações elementares e como elas afetam o determinante
  • Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
  • Somar a um linha uma combinação linear de outra(s) linha(s) (por exemplo R_i\leftarrow R_i+kR_j) não altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por escalar c multiplica o determinante por c (evitar, a menos que você compense).
Vamos usar apenas trocas e somas múltiplas de linha (sem multiplicar linhas por escalar, para não ter que ajustar o determinante), salvo operações internas temporárias com frações que não alteram o determinante (adições com coeficiente fracionário também não mudam o determinante).

Passo 3

Primeiro passo prático: escolher pivô na coluna 1. A primeira linha tem zero em \,{\color{black}1}-a coluna, então trocamos R_1 com R_2 para colocar um 1 como pivô.
Troca: R_1 \leftrightarrow R_2. Isso muda o sinal do determinante (multiplica por -1).
Matriz após a troca:
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 1 & 6 & 5 & 8 & 7 \\\\ 1 & 6 & 6 & 8 & 7 \\\\ -2 & -7 & -7 & -6 & -8 \end{bmatrix}.

Passo 4

Zerar as entradas abaixo do pivô da coluna 1 (usar operações que não mudam o determinante):
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
  • R_5 \leftarrow R_5 + 2R_1.
Calcule cada uma:
  • R_3 = (1,6,5,8,7) - (1,1,1,1,1) = (0,5,4,7,6).
  • R_4 = (1,6,6,8,7) - (1,1,1,1,1) = (0,5,5,7,6).
  • R_5 = (-2,-7,-7,-6,-8) + 2(1,1,1,1,1) = (0,-5,-5,-4,-6).
Matriz agora:
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 0 & 5 & 4 & 7 & 6 \\\\ 0 & 5 & 5 & 7 & 6 \\\\ 0 & -5 & -5 & -4 & -6 \end{bmatrix}.
(Observação: essas somas/subtrações de linhas não alteram o determinante.)

Passo 5

Agora pivot na coluna 2 é o elemento 5 em R_2. Usamos R_2 para zerar as outras entradas da coluna 2:
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
  • R_5 \leftarrow R_5 + R_2 (porque R_5 tem -5 na coluna 2).
Calcule:
  • R_3 = (0,5,4,7,6) - (0,5,5,5,5) = (0,0,-1,2,1).
  • R_4 = (0,5,5,7,6) - (0,5,5,5,5) = (0,0,0,2,1).
  • R_5 = (0,-5,-5,-4,-6) + (0,5,5,5,5) = (0,0,0,1,-1).
Matriz agora:
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 0 & 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}.
Ainda não é triangular superior perfeita porque há um elemento abaixo do pivô 2 na linha 5 (coluna 4).

Passo 6

Pivot na linha 3, coluna 3 é -1. Observamos que abaixo dele as entradas na coluna 3 já são zeros — ótima notícia, não precisamos fazer nada para a coluna 3.
Agora vamos zerar o elemento em posição (5,4) (linha 5, coluna 4) usando o pivô 2 em (4,4). Use operação do tipo R_5 \leftarrow R_5 - \tfrac{1}{2}R_4. Lembre-se: substituir uma linha por ela menos múltiplo de outra não altera o determinante.
Efetuando:
  • R_4 = (0,0,0,2,1) (pivot).
  • R_5 = (0,0,0,1,-1) - \tfrac{1}{2}(0,0,0,2,1) = (0,0,0,1-1, -1-\tfrac{1}{2}) = (0,0,0,0,-\tfrac{3}{2}).
Matriz agora triangular superior:
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 5 & 5 & 5 & 5 \\\\ 0 & 0 & -1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{3}{2} \end{bmatrix}.

Passo 7

Agora a matriz está em forma triangular superior. O determinante da matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Mas lembre-se do efeito da troca que fizemos no início: houve uma troca R_1\leftrightarrow R_2, que multiplicou o determinante por -1. Então
Produto das diagonais (sem contar a troca) é
1 \cdot 5 \cdot (-1) \cdot 2 \cdot \left(-\tfrac{3}{2}\right).
Calcule passo a passo:
  • 1\cdot5 = 5.
  • 5\cdot(-1) = -5.
  • -5\cdot2 = -10.
  • -10\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right) = 15.
Esse é o produto das diagonais da matriz triangular obtida. Agora aplicar o fator da troca de linhas (multiplicação por -1):
\det(A) = -1 \cdot 15 = -15.

Passo 8

Checagem rápida (sanity check): o resultado -15 é um número pequeno inteiro e aparece entre as alternativas fornecidas; as operações foram só trocas e somas lineares (sem erro de escala), então o cálculo é consistente.

Resposta

-15

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