Não há mais perguntas — só calcular o determinante de A. Vamos resolver por escalonamento, conforme a dica.
Passo 2
Revisão curta (útil para a prova): regras de operações elementares e como elas afetam o determinante
Trocar duas linhas multiplica o determinante por -1.
Somar a um linha uma combinação linear de outra(s) linha(s) (por exemplo R_i\leftarrow R_i+kR_j) não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por escalar c multiplica o determinante por c (evitar, a menos que você compense).
Vamos usar apenas trocas e somas múltiplas de linha (sem multiplicar linhas por escalar, para não ter que ajustar o determinante), salvo operações internas temporárias com frações que não alteram o determinante (adições com coeficiente fracionário também não mudam o determinante).
Passo 3
Primeiro passo prático: escolher pivô na coluna 1. A primeira linha tem zero em \,{\color{black}1}-a coluna, então trocamos R_1 com R_2 para colocar um 1 como pivô.
Troca: R_1 \leftrightarrow R_2. Isso muda o sinal do determinante (multiplica por -1).
Ainda não é triangular superior perfeita porque há um elemento abaixo do pivô 2 na linha 5 (coluna 4).
Passo 6
Pivot na linha 3, coluna 3 é -1. Observamos que abaixo dele as entradas na coluna 3 já são zeros — ótima notícia, não precisamos fazer nada para a coluna 3.
Agora vamos zerar o elemento em posição (5,4) (linha 5, coluna 4) usando o pivô 2 em (4,4). Use operação do tipo R_5 \leftarrow R_5 - \tfrac{1}{2}R_4. Lembre-se: substituir uma linha por ela menos múltiplo de outra não altera o determinante.
Agora a matriz está em forma triangular superior. O determinante da matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal. Mas lembre-se do efeito da troca que fizemos no início: houve uma troca R_1\leftrightarrow R_2, que multiplicou o determinante por -1. Então
Esse é o produto das diagonais da matriz triangular obtida. Agora aplicar o fator da troca de linhas (multiplicação por -1):
\det(A) = -1 \cdot 15 = -15.
Passo 8
Checagem rápida (sanity check): o resultado -15 é um número pequeno inteiro e aparece entre as alternativas fornecidas; as operações foram só trocas e somas lineares (sem erro de escala), então o cálculo é consistente.