Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n com \operatorname{det} A \neq 0. Considere as afirmativas abaixo:
I) A é sobrejetiva.
II) O conjunto de colunas de A é linearmente dependente.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A de ordem n com \det A \neq 0 e pede para analisar a verdade das duas afirmativas:
I) A é sobrejetiva.
II) O conjunto de colunas de A é linearmente dependente.
Informações relevantes: A é n\times n e \det A \neq 0. A tarefa é decidir quais das afirmativas I e II são verdadeiras dadas essas informações.

Passo 2

Vou explicar conceitos essenciais (com calma, passo a passo).
Definição de matriz inversível: dizemos que A é inversível (ou não singular) se existe uma matriz A^{-1} tal que
A A^{-1} = A^{-1} A = I_n,
onde I_n é a matriz identidade n\times n. Uma propriedade fundamental: \det A \neq 0 implica que A é inversível. Intuição rápida: o determinante mede “se as colunas estão espalhando espaço” — se \det A=0 as colunas ficam num subespaço de dimensão menor; se \det A\neq 0 as colunas “formam base” do espaço.

Passo 3

Definição de sobrejetiva (no contexto de matrizes/transformações lineares): a matriz A representa uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n (ou sobre o corpo apropriado). T é sobrejetiva se, para todo vetor b\in\mathbb{R}^n, existe x\in\mathbb{R}^n tal que Ax=b. Se A tem inversa A^{-1}, então para cada b podemos tomar x = A^{-1} b e verificamos
A x = A(A^{-1} b) = (A A^{-1}) b = I_n b = b.
Portanto, a existência de A^{-1} garante que A é sobrejetiva. Como \det A\neq 0 \Rightarrow A é inversível, concluímos que a hipótese do enunciado implica que A é sobrejetiva. Assim, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Definição de dependência linear das colunas: diga que as colunas de A são v_1,v_2,\dots,v_n. Dizemos que elas são linearmente dependentes se existe um conjunto de escalares não todos nulos \alpha_1,\dots,\alpha_n tal que
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = 0.
Essa condição é equivalente a dizer que existe um vetor coluna c\neq 0 com
A c = 0.
Se as únicas soluções para A c = 0 é c=0, então as colunas são linearmente independentes.

Passo 5

Agora use a inversibilidade para analisar dependência. Suponha por absurdo que as colunas fossem linearmente dependentes. Então existe c\neq 0 tal que A c = 0. Multiplicando pela inversa A^{-1} (que existe porque \det A\neq 0) obtemos
c = A^{-1}(A c) = A^{-1} 0 = 0,
o que é uma contradição com c\neq 0. Portanto não existe vetor não-nulo c com A c=0. Logo as colunas são linearmente independentes. Assim, a afirmativa II (que dizia que as colunas são linearmente dependentes) é falsa.

Passo 6

Resumo do que já provamos (pra ficar bem claro): a hipótese \det A\neq 0 implica que A é inversível. Da inversibilidade segue que:
  • Para todo b existe x=A^{-1}b com Ax=b, logo A é sobrejetiva (I verdadeira).
  • A equação homogênea A c=0 tem só a solução trivial c=0, logo as colunas de A são linearmente independentes (II falsa).

Passo 7

Conclusão final: apenas a afirmativa I é verdadeira e a II é falsa. Portanto a alternativa correta é a letra correspondente.

Resposta

(B) Só I é verdadeira.

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