Q4: Seja
uma matriz quadrada
com
. Considere as afirmativas abaixo:
I)
é sobrejetiva.
II) O conjunto de colunas de
é linearmente dependente.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I)
II) O conjunto de colunas de
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
de ordem
com
e pede para analisar a verdade das duas afirmativas:
I) é sobrejetiva.
II) O conjunto de colunas de é linearmente dependente.
Informações relevantes: é
e
. A tarefa é decidir quais das afirmativas I e II são verdadeiras dadas essas informações.
I)
II) O conjunto de colunas de
Informações relevantes:
Passo 2
Vou explicar conceitos essenciais (com calma, passo a passo).
Definição de matriz inversível: dizemos que é inversível (ou não singular) se existe uma matriz
tal que
Definição de matriz inversível: dizemos que
onde
é a matriz identidade
. Uma propriedade fundamental:
implica que
é inversível. Intuição rápida: o determinante mede “se as colunas estão espalhando espaço” — se
as colunas ficam num subespaço de dimensão menor; se
as colunas “formam base” do espaço.
Passo 3
Definição de sobrejetiva (no contexto de matrizes/transformações lineares): a matriz
representa uma transformação linear
(ou sobre o corpo apropriado).
é sobrejetiva se, para todo vetor
, existe
tal que
. Se
tem inversa
, então para cada
podemos tomar
e verificamos
Portanto, a existência de
garante que
é sobrejetiva. Como
é inversível, concluímos que a hipótese do enunciado implica que
é sobrejetiva. Assim, a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Definição de dependência linear das colunas: diga que as colunas de
são
. Dizemos que elas são linearmente dependentes se existe um conjunto de escalares não todos nulos
tal que
Essa condição é equivalente a dizer que existe um vetor coluna
com
Se as únicas soluções para
é
, então as colunas são linearmente independentes.
Passo 5
Agora use a inversibilidade para analisar dependência. Suponha por absurdo que as colunas fossem linearmente dependentes. Então existe
tal que
. Multiplicando pela inversa
(que existe porque
) obtemos
o que é uma contradição com
. Portanto não existe vetor não-nulo
com
. Logo as colunas são linearmente independentes. Assim, a afirmativa II (que dizia que as colunas são linearmente dependentes) é falsa.
Passo 6
Resumo do que já provamos (pra ficar bem claro): a hipótese
implica que
é inversível. Da inversibilidade segue que:
- Para todo
existe com , logo é sobrejetiva (I verdadeira). - A equação homogênea
tem só a solução trivial , logo as colunas de são linearmente independentes (II falsa).
Passo 7
Conclusão final: apenas a afirmativa I é verdadeira e a II é falsa. Portanto a alternativa correta é a letra correspondente.
Resposta
(B) Só I é verdadeira.