Q13: Calcule o polinómio característico da matriz A abaixo:
\left[\begin{array}{rrrrrrrr}3 & 1 & 7 & -3 & 3 & 6 & 4 & -5 \\\\ 0 & 3 & 3 & 4 & -4 & -4 & 4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 4 & 5 & -4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: “Calcule o polinómio característico da matriz A abaixo”. A informação fornecida é a própria matriz A, que aparece escrita em quatro linhas com oito entradas cada uma:
\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 3 & 1 & 7 & -3 & 3 & 6 & 4 & -5 \\\\ 0 & 3 & 3 & 4 & -4 & -4 & 4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 4 & 5 & -4 \end{array}\right]
Pergunta explícita: calcular o polinómio característico de A.

Passo 2

O que é o polinómio característico? Vou explicar passo a passo, bem devagarinho. Para uma matriz quadrada n\times n, o polinómio característico p_A(\lambda) é definido por
p_A(\lambda)=\det\big(\lambda I_n - A\big).
Aqui:
  • \lambda é a variável do polinómio (pensa nela como um número complexo ou real);
  • I_n é a matriz identidade n\times n (tem 1s na diagonal e 0s fora dela);
  • \det(\cdot) significa determinante, que só está definido para matrizes quadradas.
    Exemplo simples (para fixar a ideia): se B=\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}, então
p_B(\lambda)=\det\begin{pmatrix}\lambda-a & -b \\\\ -c & \lambda-d\end{pmatrix}=(\lambda-a)(\lambda-d)-(-b)(-c).
Repare que toda esta definição requer explicitamente que a matriz seja quadrada, porque só assim \lambda I_n - A faz sentido como uma matriz quadrada cujo determinante podemos calcular.

Passo 3

Vamos verificar as dimensões da matriz que o enunciado nos deu. Contando as entradas em cada linha vemos 8 colunas, e há 4 linhas listadas. Logo a matriz apresentada tem dimensão
\dim(A)=4\times 8.
Isto retirei diretamente da matriz tal como está escrita no enunciado (cada uma das quatro linhas tem oito números).

Passo 4

Conclusão lógica: como A é uma matriz 4\times 8 (não quadrada), a expressão \lambda I_n - A não está bem definida para um único n — o determinante não existe para matrizes não quadradas. Portanto o conceito de polinómio característico na forma usual \det(\lambda I_n - A) não se aplica a A tal como foi apresentada.

Passo 5

O que podemos fazer em vez disso (opções úteis, sem pedir mais dados):
  • Se o objetivo for estudar os autovalores relacionados a A, uma alternativa é estudar as matrizes quadradas \;A A^\top\in\mathbb{R}^{4\times 4}\; ou \;A^\top A\in\mathbb{R}^{8\times 8}. Essas duas matrizes são quadradas, têm determinantes e polinómios característicos bem definidos, e as suas partes não-nulas dos espectros estão relacionadas: os autovalores não-nulos de A A^\top coincidem com os autovalores não-nulos de A^\top A (esses autovalores são os quadrados dos valores singulares de A).
  • Se o enunciado pretendia outra matriz (por exemplo uma 4\times 4 ou uma 8\times 8), é preciso que a matriz seja efectivamente quadrada para que eu consiga calcular o polinómio característico seguindo a definição e os procedimentos habituais (por eliminação de Laplace, transformações elementares que preservem determinante até ajustar sinais, ou triangularização).

Passo 6

Resumo prático e incentivo: não te preocupes — é um detalhe comum numa escrita de enunciados. O passo seguinte prático (se estivesse a corrigir o enunciado) seria garantir que A seja quadrada; com isso eu faço as contas passo a passo e ensino-te como expandir o determinante ou triangularizar para obter \det(\lambda I - A). Tens coragem — já estamos a meio do caminho!

Resposta

Não é possível calcular o polinómio característico porque A não é quadrada: \dim(A)=4\times 8.

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