Q15: Considere as afirmativas abaixo:
A) Todas são falsas.
B) Só I é verdadeira.
C) Só II é verdadeira.
D) Todas são verdadeiras.
I - Se \left\{\hat{q}_{1}, \hat{q}_{2}, \hat{q}_{3}, \hat{q}_{4}\right\} é um conjunto ortonormal, então \left\|\hat{q}_{1}+\hat{q}_{2}-\hat{q}_{3}-\hat{q}_{4}\right\|=2.
II - Sejam \vec{u} \in \mathbb{R}^{4} e H um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}. Então \|\vec{u}\|^{2}=\left\|P_{H} \vec{u}\right\|^{2}+\left\|P_{H^{\perp}} \vec{u}\right\|^{2}.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações e pede que decidamos quais são verdadeiras, escolhendo entre as alternativas A a D. Vou listar claramente o que nos é dado e o que cada afirmativa diz.
Dados do problema:
Há um conjunto ortonormal \{\hat{q}_{1},\hat{q}_{2},\hat{q}_{3},\hat{q}_{4}\}. Isso significa que cada vetor tem norma 1 e são mutuamente ortogonais: \langle \hat{q}_i,\hat{q}_j\rangle=0 para i\neq j e \|\hat{q}_i\|=1 para todo i.
Seja \vec{u}\in\mathbb{R}^{4} e H um subespaço de \mathbb{R}^{4}. P_H denota a projeção ortogonal sobre H e P_{H^{\perp}} a projeção ortogonal sobre o subespaço ortogonal H^{\perp}.
Perguntas (afirmativas a verificar):
I — Verificar se \left\|\hat{q}_{1}+\hat{q}_{2}-\hat{q}_{3}-\hat{q}_{4}\right\|=2.
II — Verificar se para todo \vec{u}\in\mathbb{R}^4 e todo subespaço H vale \|\vec{u}\|^{2}=\left\|P_{H}\vec{u}\right\|^{2}+\left\|P_{H^{\perp}}\vec{u}\right\|^{2}.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicados passo a passo de forma didática).
Produto interno e norma:
Em \mathbb{R}^n o produto interno é \langle v,w\rangle = v\cdot w.
A norma de um vetor v é \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle} e o quadrado da norma é \|v\|^2=\langle v,v\rangle.
Propriedade importante de conjuntos ortonormais:
Se \{e_i\} é um conjunto ortonormal e v=\sum_i a_i e_i (combinação linear), então ao expandir \|v\|^2=\langle v,v\rangle os termos cruzados se anulam porque \langle e_i,e_j\rangle=0 para i\neq j. Logo
\|v\|^2=\sum_i |a_i|^2.
Explico por que: \langle v,v\rangle=\langle\sum_i a_i e_i,\sum_j a_j e_j\rangle=\sum_{i}\sum_{j} a_i a_j \langle e_i,e_j\rangle. Como \langle e_i,e_j\rangle=0 para i\neq j e \langle e_i,e_i\rangle=1, apenas os termos com i=j permanecem, dando \sum_i a_i^2.
Projeção ortogonal e decomposição:
Para um subespaço H existe decomposição única \vec{u}=P_H\vec{u}+P_{H^{\perp}}\vec{u}, onde P_H\vec{u}\in H e P_{H^\perp}\vec{u}\in H^\perp.
Os vetores P_H\vec{u} e P_{H^\perp}\vec{u} são ortogonais entre si, ou seja \langle P_H\vec{u},P_{H^\perp}\vec{u}\rangle=0.
Pela ortogonalidade, ao calcular a norma ao quadrado de \vec{u} surge a soma dos quadrados das normas das partes (teorema de Pitágoras no espaço vetorial):
Aqui os coeficientes nas combinações lineares são a_1=1, a_2=1, a_3=-1, a_4=-1.
Como \{\hat{q}_i\} é ortonormal, posso aplicar a propriedade do Passo 2:
\|v\|^2 = 1^2 + 1^2 + (-1)^2 + (-1)^2.
Explico: ao expandir \langle v,v\rangle os termos cruzados \langle \hat{q}_i,\hat{q}_j\rangle com i\neq j são zero, restando só os termos diagonais \langle \hat{q}_i,\hat{q}_i\rangle=1 multiplicados pelos quadrados dos coeficientes.
Calculando:
\|v\|^2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.
Portanto \|v\| = \sqrt{4}=2.
Conclusão parcial: a igualdade \left\|\hat{q}_{1}+\hat{q}_{2}-\hat{q}_{3}-\hat{q}_{4}\right\|=2 é verdadeira.
Passo 4
Prova detalhada da afirmativa II — explicação conceitual e demonstração rigorosa.
Primeiro, afirmar o que é P_H e P_{H^\perp}:
P_H\vec{u} é a projeção ortogonal de \vec{u} em H: é o vetor em H mais próximo de \vec{u}.
P_{H^\perp}\vec{u} é a componente de \vec{u} que fica em H^\perp.
Propriedade básica (existência e unicidade da decomposição ortogonal):
Para qualquer \vec{u} existe uma única escrita \vec{u} = \vec{h} + \vec{h}_\perp com \vec{h}\in H e \vec{h}_\perp\in H^\perp. Essa escrita é a decomposição \vec{u}=P_H\vec{u}+P_{H^\perp}\vec{u}.
Motivação rápida: se H é gerado por uma base ortonormal \{e_1,\dots,e_k\}, então P_H\vec{u}=\sum_{i=1}^k \langle \vec{u},e_i\rangle e_i e a diferença \vec{u}-P_H\vec{u} é ortogonal a todos os e_i, logo pertence a H^\perp.
Passo 5
Cálculo da igualdade das normas usando a ortogonalidade.
Escrevemos \vec{u}=P_H\vec{u}+P_{H^\perp}\vec{u} e calculamos \|\vec{u}\|^2:
Mas por construção P_H\vec{u}\in H e P_{H^\perp}\vec{u}\in H^\perp, logo são ortogonais e \langle P_H\vec{u},P_{H^\perp}\vec{u}\rangle=0. Assim permanece