As alternativas são (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4.
Resumo do que é pedido: encontrar \dim\big(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}), isto é, quantos vetores linearmente independentes desses quatro existem (a dimensão do subespaço gerado por eles).]
Passo 2
Ideia do método (explicação didática):
A dimensão do span é o número máximo de vetores linearmente independentes entre os dados; em termos de matrizes, é o posto (rank) da matriz cujas colunas são esses vetores.
Portanto vou montar a matriz A com colunas v_1,v_2,v_3,v_4 e calcular o posto de A por eliminação (redução por linhas). O posto é o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada), e esse será a dimensão pedida.
Lembrete rápido sobre linearidade: vetores são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial que dê o vetor nulo. Se só a combinação trivial (todos coeficientes zero) produz o nulo, são independentes.
Passo 3
Formo a matriz A colocando os vetores como colunas:
Para tornar isso mais concreto (como exercício extra útil para a prova), podemos escrever v_3 e v_4 como combinações de v_1 e v_2. Procuro a,b tais que v_3=a v_1 + b v_2. Das componentes:
\begin{cases} a+b=2,\\[4pt] 2a+b=1. \end{cases}
Subtraindo as equações vem a=-1\] e \[b=3. Verifica-se nas demais componentes também. Assim v_3=-1\cdot v_1 + 3\cdot v_2.
Para v_4=c v_1 + d v_2:
\begin{cases} c+d=0,\\[4pt] 2c+d=-1, \end{cases}
que dá c=-1\], \(d=1. Verifica nas demais componentes: v_4=-1\cdot v_1 + 1\cdot v_2.
Isto confirma que apenas v_1 e v_2 são suficientes para gerar todos os quatro vetores.]