Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 2 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ 3 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 1 \\\\ 8 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do espaço gerado (span) pelos quatro vetores abaixo. Os vetores fornecidos são:
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]1\\[4pt]-3\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]3\\[4pt]-2\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]8\\[4pt]-3\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\\[4pt]2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
As alternativas são (A) 0, (B) 1, (C) 2, (D) 3, (E) 4.
Resumo do que é pedido: encontrar \dim\big(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}), isto é, quantos vetores linearmente independentes desses quatro existem (a dimensão do subespaço gerado por eles).]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
  • A dimensão do span é o número máximo de vetores linearmente independentes entre os dados; em termos de matrizes, é o posto (rank) da matriz cujas colunas são esses vetores.
  • Portanto vou montar a matriz A com colunas v_1,v_2,v_3,v_4 e calcular o posto de A por eliminação (redução por linhas). O posto é o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada), e esse será a dimensão pedida.
  • Lembrete rápido sobre linearidade: vetores são linearmente dependentes se existe uma combinação linear não trivial que dê o vetor nulo. Se só a combinação trivial (todos coeficientes zero) produz o nulo, são independentes.

Passo 3

Formo a matriz A colocando os vetores como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 1 & -1\\[4pt] 1 & 3 & 8 & 2\\[4pt] -3 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix}.
Vou aplicar operações elementares por linhas para encontrar uma forma escalonada e contar pivôs.]

Passo 4

Usar primeiro pivô em a_{11}=1. Elimino abaixo:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - R_1,
  • R_4 \leftarrow R_4 + 3R_1.
Calculemos cada nova linha:
R_2: \begin{pmatrix}2-2\cdot1,\;1-2\cdot1,\;1-2\cdot2,\;-1-2\cdot0\end{pmatrix}=(0,-1,-3,-1).
R_3: \begin{pmatrix}1-1,\;3-1,\;8-2,\;2-0\end{pmatrix}=(0,2,6,2).
R_4: \begin{pmatrix}-3+3,\;-2+3,\;-3+6,\;1+0\end{pmatrix}=(0,1,3,1).
Assim a matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & -1 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Torno o pivot da segunda linha igual a 1 multiplicando R_2 por -1:
R_2\leftarrow -R_2 = (0,1,3,1).
Agora a matriz é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 6 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Elimino as entradas na coluna 2 a partir de R_2:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2 (0,0,0,0), porque (0,2,6,2)-2(0,1,3,1)=(0,0,0,0).
  • R_4 \leftarrow R_4 - R_2 também dá (0,0,0,0).
  • Elimino acima do pivô também: R_1 \leftarrow R_1 - R_2 (1,0,-1,-1).
A matriz fica então
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Temos claramente dois pivôs (nas colunas 1 e 2). Linhas 3 e 4 são nulas.]

Passo 7

Conclusão a partir da redução:
  • O número de pivôs é [2). Logo \operatorname{rank}(A)=2.
  • Portanto \dim\big(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\big)=2.
Para tornar isso mais concreto (como exercício extra útil para a prova), podemos escrever v_3 e v_4 como combinações de v_1 e v_2. Procuro a,b tais que v_3=a v_1 + b v_2. Das componentes:
\begin{cases} a+b=2,\\[4pt] 2a+b=1. \end{cases}
Subtraindo as equações vem a=-1\] e \[b=3. Verifica-se nas demais componentes também. Assim v_3=-1\cdot v_1 + 3\cdot v_2.
Para v_4=c v_1 + d v_2:
\begin{cases} c+d=0,\\[4pt] 2c+d=-1, \end{cases}
que dá c=-1\], \(d=1. Verifica nas demais componentes: v_4=-1\cdot v_1 + 1\cdot v_2.
Isto confirma que apenas v_1 e v_2 são suficientes para gerar todos os quatro vetores.]

Resposta

\text{\text{(C)}}\\\ 2

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