Q13: Determine a dimensão de \operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -2 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -1 \\\\ 8 \\\\ -2\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede: determinar a dimensão de \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}, ou seja, quantos vetores da lista formam um conjunto maximalmente linearmente independente (a dimensão do subespaço gerado).
  • Vetores fornecidos:
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix},\qquad v_{3}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix},\qquad v_{4}=\begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 8\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 2

Conceito importante que vou usar (explicação didática).
  • A dimensão de \operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{4}\} é o número máximo de vetores linearmente independentes entre esses vetores.
  • Uma forma prática de descobrir isso é montar uma matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o posto (rank) dessa matriz. O posto é exatamente o número de colunas linearmente independentes, e portanto a dimensão do span.
  • Para achar o posto usamos eliminação de Gauss (operações elementares por linhas). Estas operações não mudam dependências lineares entre as colunas, apenas transformam a matriz numa forma mais simples onde os pivôs ficam visíveis.
  • Vou mostrar passo a passo a eliminação (cada operação é uma soma/escala de linhas simples que você pode fazer à mão na prova).

Passo 3

Monte a matriz com os vetores como colunas.
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3\\[4pt] -1 & 3 & 0 & -1\\[4pt] 0 & -1 & -2 & 8\\[4pt] 2 & -1 & -2 & -2 \end{pmatrix},
onde a coluna 1 é v_{1}, a coluna 2 é v_{2}, etc.]

Passo 4

Aplicar eliminação de Gauss (detalhando cada operação e o porquê).
  1. Eliminar os elementos abaixo de (1,1). Use R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1} e R_{4}\leftarrow R_{4}-2R_{1}.
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 2 & 0 & -4\\[4pt] 0 & -1 & -2 & 8\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}
Explicação: somando R_{1} a R_{2} zera o primeiro elemento de R_{2}; subtraindo 2R_{1} de R_{4} zera o primeiro elemento de R_{4}.
  1. Tornar o pivô da segunda linha igual a 1 dividindo a segunda linha por 2: R_{2}\leftarrow \tfrac{1}{2}R_{2}.
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & -1 & -2 & 8\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}
  1. Eliminar as entradas não nulas na coluna 2 acima e abaixo do pivô: use R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{2}, R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}, R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{2}.
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -5\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 6\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 6 \end{pmatrix}
Observação: agora as duas últimas linhas estão iguais, indicando possível dependência envolvendo a terceira coluna.
  1. Para o pivô da terceira linha, divida R_{3} por -2: R_{3}\leftarrow -\tfrac{1}{2}R_{3}.
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -5\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 0 & -2 & 6 \end{pmatrix}
  1. Eliminar o elemento na posição (4,3) usando R_{4}\leftarrow R_{4}+2R_{3}.
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -5\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Resultado da eliminação: há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, e a quarta linha é zero.]

Passo 5

Interpretação do resultado (o que significa cada pivô).
  • O número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada) é 3. Isso significa que as colunas originais contêm exatamente 3 vetores linearmente independentes.
  • Logo o posto da matriz A é 3 e a dimensão de \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} é 3.

Passo 6

Mostrar explicitamente a dependência linear encontrada (útil para entender o porquê de não ser 4).
Da forma escalonada final, a quarta coluna ficou \begin{pmatrix}-5\\\ -2\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix} quando comparada às três primeiras colunas-pivô canônicas. Isso indica a relação linear
v_{4} = -5v_{1} -2v_{2} -3v_{3}.
Verificação rápida aplicando o lado direito:
-5v_{1}-2v_{2}-3v_{3}= -5\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix} -2\begin{pmatrix}-1\\\ 3\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix} -3\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3\\\ -1\\\ 8\\\ -2\end{pmatrix}=v_{4}.
Assim vemos explicitamente que v_{4} depende linearmente de v_{1},v_{2},v_{3}, confirmando que não há quatro vetores independentes.

Resposta

(D)

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