Pede: determinar a dimensão de \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\}, ou seja, quantos vetores da lista formam um conjunto maximalmente linearmente independente (a dimensão do subespaço gerado).
Conceito importante que vou usar (explicação didática).
A dimensão de \operatorname{span}\{v_{1},\dots,v_{4}\} é o número máximo de vetores linearmente independentes entre esses vetores.
Uma forma prática de descobrir isso é montar uma matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o posto (rank) dessa matriz. O posto é exatamente o número de colunas linearmente independentes, e portanto a dimensão do span.
Para achar o posto usamos eliminação de Gauss (operações elementares por linhas). Estas operações não mudam dependências lineares entre as colunas, apenas transformam a matriz numa forma mais simples onde os pivôs ficam visíveis.
Vou mostrar passo a passo a eliminação (cada operação é uma soma/escala de linhas simples que você pode fazer à mão na prova).
Eliminar as entradas não nulas na coluna 2 acima e abaixo do pivô: use R_{1}\leftarrow R_{1}+R_{2}, R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}, R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{2}.
Resultado da eliminação: há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, e a quarta linha é zero.]
Passo 5
Interpretação do resultado (o que significa cada pivô).
O número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada) é 3. Isso significa que as colunas originais contêm exatamente 3 vetores linearmente independentes.
Logo o posto da matriz A é 3 e a dimensão de \operatorname{span}\{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} é 3.
Passo 6
Mostrar explicitamente a dependência linear encontrada (útil para entender o porquê de não ser 4).
Da forma escalonada final, a quarta coluna ficou \begin{pmatrix}-5\\\ -2\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix} quando comparada às três primeiras colunas-pivô canônicas. Isso indica a relação linear