Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{5} \mathrm{e} os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \text { e } S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.
II - Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.
III - Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado trata de vetores \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\in\mathbb{R}^5 e dos sistemas lineares
S_{1}:\;x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}+x_{3}\vec v_{3}=\overrightarrow{0},
S_{2}:\;x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}=\vec v_{3}.
O conteúdo é dependência e independência linear, além de existência e unicidade de soluções para sistemas homogêneos e não homogêneos.

Passo 2

Analisando S_{1}: é um sistema homogêneo com incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
  • Se \beta=\{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} é LD, por definição existe solução não trivial em S_{1}.
  • Logo, S_{1} nunca terá solução única (que seria apenas a trivial).

Passo 3

Analisando S_{2} quando \beta é LD:
  • Se \beta é LD pode ocorrer que \vec v_{3} dependa de \vec v_{1},\vec v_{2}, digamos \vec v_{3}=a\vec v_{1}+b\vec v_{2} e ao mesmo tempo \{\vec v_{1},\vec v_{2}\} seja LI.
  • Nesse caso x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}=\vec v_{3} tem a única solução x_{1}=a, x_{2}=b.
  • Portanto, sob hipótese de \beta LD, pode haver solução única em S_{2}.

Passo 4

Analisando S_{2} quando \beta é LI:
  • Se \beta é LI então \vec v_{3}\notin\mathrm{span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\}.
  • Logo não existe (x_{1},x_{2}) tal que x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}=\vec v_{3}.
  • Assim, S_{2} não tem solução.

Passo 5

Resumindo a validade das afirmativas:
I – verdadeira (é possível solução única em S_{2} se \beta é LD).
II – falsa ( S_{1} nunca tem solução única se \beta é LD).
III – verdadeira (se \beta é LI, S_{2} não tem solução).

Resposta

(B) Apenas I e III são verdadeiras.

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