Q8: Considere
os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LD, então
pode ter solução única.
II - Se
é LD, então
pode ter solução única.
III - Se
é LI, então
não tem solução.
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas II é verdadeira.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado trata de vetores
e dos sistemas lineares
O conteúdo é dependência e independência linear, além de existência e unicidade de soluções para sistemas homogêneos e não homogêneos.
Passo 2
Analisando
: é um sistema homogêneo com incógnitas
.
- Se
é LD, por definição existe solução não trivial em . - Logo,
nunca terá solução única (que seria apenas a trivial).
Passo 3
Analisando
quando
é LD:
- Se
é LD pode ocorrer que dependa de , digamos e ao mesmo tempo seja LI. - Nesse caso
tem a única solução , . - Portanto, sob hipótese de
LD, pode haver solução única em .
Passo 4
Analisando
quando
é LI:
- Se
é LI então . - Logo não existe
tal que . - Assim,
não tem solução.
Passo 5
Resumindo a validade das afirmativas:
I – verdadeira (é possível solução única em se
é LD).
II – falsa ( nunca tem solução única se
é LD).
III – verdadeira (se é LI,
não tem solução).
I – verdadeira (é possível solução única em
II – falsa (
III – verdadeira (se
Resposta
(B) Apenas I e III são verdadeiras.