Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por tres pontos dados.
Se trés pontos pertencem a um mesmo círculo, des devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações (**).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-4,-2),(-3,5) e (-3,-5).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 4.2
(B) 5.2
(C) 6.2
(D) 7.2
(E) 8.2
(F) 9.2
(G) 10.2
(H) 11.2
Passo 1
O enunciado nos dá a forma expandida da equação de um círculo:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c,
e também as relações entre a,b,c e o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r:
Os três pontos que o círculo deve conter (peguei estes pontos do enunciado) são:
(-4,-2),\qquad (-3,5),\qquad (-3,-5).
O que o problema pede: determinar o centro e o raio do círculo que passa por esses três pontos e, entre as opções dadas, indicar o valor mais próximo do raio.
Passo 2
Primeiro vamos usar a equação geral do círculo
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
e substituir cada um dos três pontos para obter um sistema linear nas incógnitas a,b,c.
Para (-4,-2): x^{2}=16, y^{2}=4. Substituindo:
16 + a(-4) + 4 + b(-2) = c.
Isso simplifica para
20 -4a -2b = c. \tag{1}
Para (-3,5): x^{2}=9, y^{2}=25. Substituindo:
9 + a(-3) + 25 + b(5) = c,
ou
34 -3a +5b = c. \tag{2}
Para (-3,-5): x^{2}=9, y^{2}=25. Substituindo:
9 + a(-3) + 25 + b(-5) = c,
ou
34 -3a -5b = c. \tag{3}
Agora temos o sistema formado por (1), (2) e (3).
Passo 3
Subtraindo as equações (2)- (3) para eliminar c e a:
(34 -3a +5b) - (34 -3a -5b) = c - c = 0.
Isso dá
10b = 0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
Com b=0, podemos usar (2) para obter c em função de a:
c = 34 -3a. \tag{4}
Também com b=0, a equação (1) fica
c = 20 -4a. \tag{5}
Igualando (4) e (5) (pois ambas valem c):
34 -3a = 20 -4a.
Resolvendo para a:
34-20 = -4a +3a \quad\Rightarrow\quad 14 = -a \quad\Rightarrow\quad a = -14.
Com a=-14 e b=0, obtemos c por (4):
c = 34 -3(-14) = 34 +42 = 76.
Resumo dos coeficientes:
a = -14,\qquad b = 0,\qquad c = 76.
Passo 4
Agora vamos relacionar a,b,c com o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r.
Breve explicação didática (completa quadrados): a forma padrão do círculo com centro (x_{0},y_{0}) é