Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{19}\right) \in \mathbb{R}^{19} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{10} & =x_{17} \\\ x_{15} & =x_{5} \\\ x_{1} & =x_{9} \\\ x_{15}+x_{10} & =x_{5}+x_{17} \end{aligned}\right.
A dimensão de S é:
(A) 3
(B) 2
(C) 16
(D) 17
(E) 15
(F) 19
(G) 18
(H) 4

Passo 1

O enunciado define
S=\{(x_{1},\dots,x_{19})\in\mathbb{R}^{19}\mid x_{10}=x_{17},\;x_{15}=x_{5},\;x_{1}=x_{9},\;x_{15}+x_{10}=x_{5}+x_{17}\}
e pede a dimensão de S. Como são restrições lineares homogêneas em \mathbb{R}^{19}, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem para achar \dim S=19-\text{rank}(\text{sistema}).

Passo 2

Escrevemos as quatro equações como forma linear homogênea:
\begin{cases} x_{10}-x_{17}=0,\\\ x_{15}-x_{5}=0,\\\ x_{1}-x_{9}=0,\\\ x_{15}+x_{10}-x_{5}-x_{17}=0. \end{cases}

Passo 3

Observamos que a quarta equação
x_{15}+x_{10}-x_{5}-x_{17}=0
é simplesmente a soma das duas primeiras:
(x_{10}-x_{17})+(x_{15}-x_{5})=0.
Logo ela não acrescenta nenhuma restrição nova e o sistema tem apenas 3 equações independentes.

Passo 4

Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, a dimensão do espaço solução é
\dim S = 19 - 3 = 16.

Resposta

16

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