Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{19}\right) \in \mathbb{R}^{19} tais que: \left\{\begin{aligned} x_{10} & =x_{17} \\\ x_{15} & =x_{5} \\\ x_{1} & =x_{9} \\\ x_{15}+x_{10} & =x_{5}+x_{17} \end{aligned}\right. A dimensão de S é: (A) 3 (B) 2 (C) 16 (D) 17 (E) 15 (F) 19 (G) 18 (H) 4 Passo 1O enunciado define S=\{(x_{1},\dots,x_{19})\in\mathbb{R}^{19}\mid x_{10}=x_{17},\;x_{15}=x_{5},\;x_{1}=x_{9},\;x_{15}+x_{10}=x_{5}+x_{17}\} e pede a dimensão de S. Como são restrições lineares homogêneas em \mathbb{R}^{19}, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem para achar \dim S=19-\text{rank}(\text{sistema}). Passo 2Escrevemos as quatro equações como forma linear homogênea: \begin{cases} x_{10}-x_{17}=0,\\\ x_{15}-x_{5}=0,\\\ x_{1}-x_{9}=0,\\\ x_{15}+x_{10}-x_{5}-x_{17}=0. \end{cases} Passo 3Observamos que a quarta equação x_{15}+x_{10}-x_{5}-x_{17}=0 é simplesmente a soma das duas primeiras: (x_{10}-x_{17})+(x_{15}-x_{5})=0. Logo ela não acrescenta nenhuma restrição nova e o sistema tem apenas 3 equações independentes. Passo 4Pelo Teorema do Núcleo e Imagem, a dimensão do espaço solução é \dim S = 19 - 3 = 16. Resposta16 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQ11: Considere as afirmativas abaixo: I - O conjunto \{(0,0,0,0)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial. II - O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{2} tais que A \vec{v}=0, onde A é uma matriz 6 \times 2 é um subespaço vetorial. III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(8)=4+p(5) é um subespaço vetorial. (A) Apenas I e II são verdadeiras. (B) Apenas I e III são verdadeiras. (C) Apenas I é verdadeira. (D) Todas são verdadeiras. (E) Apenas III é verdadeira. (F) Apenas II e III são verdadeiras. (G) Todas são falsas. (H) Apenas II é verdadeira. Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{5} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas: S_{1}:\left[\begin{array}{lll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid 0 \end{array}\right] \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \end{array}\right] . Considere as afirmativas abaixo: I - Se \beta é LD, então S_{1} tem infinitas soluções. II - Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução. III - Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução. (A) Apenas III é verdadeira. (B) Todas são falsas. (C) Apenas I e III são verdadeiras. (D) Apenas I e II são verdadeiras. (E) Todas são verdadeiras. (F) Apenas II e III são verdadeiras. (G) Apenas I é verdadeira. (H) Apenas II é verdadeira. Q13: Determine a dimensão de \operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -3 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ -8\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 0 \\\\ -6\end{array}\right]\right\}. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo: I - Nem todo conjunto gerador de V com 4 vetores é uma base de V. II - Todo conjunto gerador de V possui no mínimo 4 vetores. III - Todo subconjunto de V com menos do que 4 vetores é LI. (A) Todas são verdadeiras. (B) Apenas I é verdadeira. (C) Apenas II e III são verdadeiras. (D) Apenas I e II são verdadeiras. (E) Apenas III é verdadeira. (F) Apenas II é verdadeira. (G) Apenas I e III são verdadeiras. (H) Todas são falsas.