Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -3 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ -8\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 0 \\\\ -6\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do espaço gerado pelos vetores \displaystyle v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ -3\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix},\;v_{2}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\;v_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\\\ -8\end{pmatrix},\;v_{4}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\\\ -6\end{pmatrix}.
Isso equivale a calcular o posto da matriz A\in\mathbb{R}^{4\times4} cujas colunas são esses vetores, pois \dim(\operatorname{span}\{v_i\})=\operatorname{rank}(A).

Passo 2

Montamos
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\\\ -3 & 1 & 0 & -2\\\\ 1 & 1 & 2 & 0\\\\ -3 & -1 & -8 & -6 \end{pmatrix}
e aplicamos eliminação de Gauss:
  1. Usando R_1 como pivô para zerar abaixo:
    R_2\leftarrow R_2+3R_1,\;R_3\leftarrow R_3-R_1,\;R_4\leftarrow R_4+3R_1
    resulta em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & -1\\\\ 0 & -1 & -5 & -3 \end{pmatrix}.
  1. Usando R_2 como pivô para zerar na coluna 2:
    R_3\leftarrow R_3-R_2,\;R_4\leftarrow R_4+R_2
    resulta em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 & 1\\\\ 0 & 0 & -2 & -2\\\\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}.
  1. Dividindo R_3 por -2 e zerando as outras linhas na coluna 3:
    R_3\leftarrow-\tfrac12R_3,\;R_1\leftarrow R_1-R_3,\;R_2\leftarrow R_2-3R_3,\;R_4\leftarrow R_4+2R_3
    leva à forma
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na forma escalonada há exatamente três pivôs (colunas 1, 2 e 3). Portanto
\dim\bigl(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\bigr)=3.

Resposta

(D) 3

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