Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto
é um subespaço vetorial. II - O conjunto de todos
tais que
, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas II é verdadeira.
I - O conjunto
III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado está em Álgebra Linear e trata de verificar quais dos conjuntos I, II e III são subespaços vetoriais. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se
- o vetor zero de
pertence a , -
é fechado sob soma de vetores, -
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: o conjunto
contém apenas o vetor zero. Verificações:
– o vetor zero de está em
por definição;
– soma de com ele mesmo dá
;
– qualquer escalar vezes é
.
Logo, I é verdadeira.
– o vetor zero de
– soma de
– qualquer escalar vezes
Logo, I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: o conjunto
é o núcleo de uma aplicação linear
. Sabe-se que núcleo de transformação linear é sempre subespaço, pois:
– implica
está no conjunto;
– se e
, então
;
– para todo escalar ,
.
Logo, II é verdadeira.
–
– se
– para todo escalar
Logo, II é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa III: o conjunto
é uma “reta” afim em
. Basta checar o polinômio zero:
para temos
e
, de modo que
para
Logo o polinômio zero não pertence ao conjunto, falhando a condição de conter o zero e, portanto, não é subespaço. Assim, III é falsa.
Resposta
(A) Apenas I e II são verdadeiras.