Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto \{(0,0,0,0)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial. II - O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{2} tais que A \vec{v}=0, onde A é uma matriz 6 \times 2 é um subespaço vetorial.
III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(8)=4+p(5) é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Apenas I é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas III é verdadeira.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado está em Álgebra Linear e trata de verificar quais dos conjuntos I, II e III são subespaços vetoriais. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se
  1. o vetor zero de V pertence a W,
  2. W é fechado sob soma de vetores,
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: o conjunto \{(0,0,0,0)\}\subset\mathbb{R}^{4} contém apenas o vetor zero. Verificações:
– o vetor zero de \mathbb{R}^{4} está em \{(0,0,0,0)\} por definição;
– soma de (0,0,0,0) com ele mesmo dá (0,0,0,0);
– qualquer escalar vezes (0,0,0,0) é (0,0,0,0).
Logo, I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: o conjunto \{\vec v\in\mathbb{R}^2 \mid A\vec v=0\} é o núcleo de uma aplicação linear A:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^6. Sabe-se que núcleo de transformação linear é sempre subespaço, pois:
A0=0 implica 0 está no conjunto;
– se A\vec v=0 e A\vec w=0, então A(\vec v+\vec w)=A\vec v+A\vec w=0;
– para todo escalar \lambda, A(\lambda\vec v)=\lambda A\vec v=0.
Logo, II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: o conjunto \{p\in P_2 \mid p(8)=4+p(5)\} é uma “reta” afim em P_2. Basta checar o polinômio zero:
para p(x)=0 temos p(8)=0 e p(5)=0, de modo que
0 \neq 4 + 0.
Logo o polinômio zero não pertence ao conjunto, falhando a condição de conter o zero e, portanto, não é subespaço. Assim, III é falsa.

Resposta

(A) Apenas I e II são verdadeiras.

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