Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{5} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid 0 \end{array}\right] \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \beta é LD, então S_{1} tem infinitas soluções.
II - Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
III - Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto \beta=\{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\}\subset\mathbb R^{5} e dois sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são
S_{1}:\bigl[\vec v_{1}\;\vec v_{2}\;\vec v_{3}\mid 0\bigr]
(equação homogênea \alpha_{1}\vec v_{1}+\alpha_{2}\vec v_{2}+\alpha_{3}\vec v_{3}=0)
e
S_{2}:\bigl[\vec v_{1}\;\vec v_{2}\mid \vec v_{3}\bigr]
(equação não homogênea x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}=\vec v_{3}).
O conteúdo é Dependência Linear, Rango de matriz e número de soluções de sistemas.

Passo 2

Analisando S_{1}: é um sistema homogêneo com 3 incógnitas. A teoria diz que o número de soluções é infinito sempre que o posto da matriz de coeficientes for menor que o número de incógnitas, pois haverá variáveis livres. Se \beta é LD, então \mathrm{rank}(\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3})<3, logo
\text{número de variáveis livres} = 3 - \mathrm{rank} \ge 1úá
e o sistema S_{1} tem infinitas soluções. Assim, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

Analisando S_{2}: resolvemos
x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}=\vec v_{3}.
Para que exista solução, \vec v_{3} deve pertencer ao subespaço gerado por \vec v_{1},\vec v_{2}. Se \beta é LI, então \{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} são independentes, o que implica que \vec v_{3}\notin\mathrm{Span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Portanto, não há solução em S_{2}. A afirmativa II é verdadeira.

Passo 4

Verificando a afirmativa III: ela diz que se \beta é LD então S_{2} tem infinitas soluções. Porém a dependência linear de \{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\} não garante que \vec v_{3} esteja em \mathrm{Span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\}; a dependência pode envolver qualquer combinação dos três vetores. Logo, mesmo sendo \beta LD, S_{2} pode não ter solução ou ter solução única, mas não necessariamente infinitas. Assim, a afirmativa III é falsa.

Resposta

(D) Apenas I e II são verdadeiras.

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