Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LD, então
tem infinitas soluções.
II - Se
é LI, então
não tem solução.
III - Se
é LD, então
tem infinitas solução.
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II é verdadeira.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas III é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Apenas I e III são verdadeiras.
(D) Apenas I e II são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado apresenta o conjunto
e dois sistemas lineares cujas matrizes aumentadas são
(equação homogênea
)
e
e
(equação não homogênea
).
O conteúdo é Dependência Linear, Rango de matriz e número de soluções de sistemas.
O conteúdo é Dependência Linear, Rango de matriz e número de soluções de sistemas.
Passo 2
Analisando
: é um sistema homogêneo com 3 incógnitas. A teoria diz que o número de soluções é infinito sempre que o posto da matriz de coeficientes for menor que o número de incógnitas, pois haverá variáveis livres. Se
é LD, então
, logo
e o sistema
tem infinitas soluções. Assim, a afirmativa I é verdadeira.
Passo 3
Analisando
: resolvemos
Para que exista solução,
deve pertencer ao subespaço gerado por
. Se
é LI, então
são independentes, o que implica que
. Portanto, não há solução em
. A afirmativa II é verdadeira.
Passo 4
Verificando a afirmativa III: ela diz que se
é LD então
tem infinitas soluções. Porém a dependência linear de
não garante que
esteja em
; a dependência pode envolver qualquer combinação dos três vetores. Logo, mesmo sendo
LD,
pode não ter solução ou ter solução única, mas não necessariamente infinitas. Assim, a afirmativa III é falsa.
Resposta
(D) Apenas I e II são verdadeiras.