Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 2 \\\\ 3 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -3 \\\\ -6 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 5 \\\\ 8 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 5 \\\\ 3 \\\\ -8\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado por quatro vetores em \mathbb R^4. O conteúdo é Álgebra Linear: independência linear e posto (rank) de matriz. Para resolver, vamos montar uma matriz cujas colunas são esses vetores e usar eliminação de Gauss para encontrar o número de pivôs, que é a dimensão da span.

Passo 2

Formamos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & 1 \\[6pt] 2 & -3 & 5 & 5 \\[6pt] 3 & -6 & 8 & 3 \\[6pt] -2 & 2 & -3 & -8 \end{pmatrix}
e aplicamos as seguintes operações de linha para zerar abaixo de a_{11}: R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1, R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1.
Fica
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & 1 \\[3pt] 0 & 1 & 1 & 3 \\[3pt] 0 & 0 & 2 & 0 \\[3pt] 0 & -2 & 1 & -6 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Seguimos eliminando abaixo e acima dos pivôs: R_4 \leftarrow R_4 + 2R_2 \bigl[0\;\;0\;\;3\;\;0\bigr],
depois R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac32\,R_3 zera R_4.
Sobram três linhas não nulas, logo há três pivôs.

Resposta

A dimensão do span é 3. Portanto, a alternativa correta é (D).

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