Q12: Sejam \vec{v}=(-10,4,2,-3) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y+3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H. O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(-10,4,2,-3) e o subespaço
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-2y+3z+w=0\}.
Pede para calcular \vec{w}=P_H\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e em particular o valor da terceira coordenada w_{3} de \vec{w}. As informações relevantes são:
  • O vetor \vec{v} é (-10,4,2,-3).
  • O plano H é dado pela equação linear x-2y+3z+w=0.
  • A dica diz para projetar \vec{v} em H^\perp (o complemento ortogonal de H) e usar isso para obter P_H\vec{v}.

Passo 2

Ideia geral e fundamento (sem cálculo ainda): qualquer vetor \vec{v} em \mathbb{R}^4 pode ser escrito de forma única como
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H e \vec{u}\in H^\perp. A projeção orthogonal de \vec{v} sobre H é exatamente \vec{w}. Portanto
\vec{w}= \vec{v}-\vec{u},
onde \vec{u}=P_{H^\perp}\vec{v}. Projetar em H^\perp costuma ser mais fácil quando H^\perp é a reta gerada por um vetor normal simples — é só usar a fórmula da projeção em uma reta.

Passo 3

Encontrar um vetor normal a H. A equação linear de H é x-2y+3z+w=0. Os coeficientes dessa equação formam um vetor normal a H. Então tomamos
\vec{n}=(1,-2,3,1),
que gera H^\perp (ou seja, H^\perp=\operatorname{span}\{\vec{n}\}).

Passo 4

Fórmula da projeção ortogonal de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n}: se queremos P_{H^\perp}\vec{v} e H^\perp=\operatorname{span}\{\vec{n}\}, então
P_{H^\perp}\vec{v}=\frac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\langle\vec{n},\vec{n}\rangle}\,\vec{n},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno padrão (produto escalar). Vou explicar cada peça: \langle\vec{v},\vec{n}\rangle é a soma dos produtos das coordenadas correspondentes; \langle\vec{n},\vec{n}\rangle é o quadrado da norma de \vec{n}. O coeficiente \dfrac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\langle\vec{n},\vec{n}\rangle} é o quanto de \vec{n} está em \vec{v}.

Passo 5

Calcular \langle\vec{v},\vec{n}\rangle com contas bem detalhadas. Temos \vec{v}=(-10,4,2,-3) e \vec{n}=(1,-2,3,1). Então
\langle\vec{v},\vec{n}\rangle = (-10)\cdot 1 + 4\cdot(-2) + 2\cdot 3 + (-3)\cdot 1.
Faço cada produto:
(-10)\cdot 1 = -10,\quad 4\cdot(-2)=-8,\quad 2\cdot 3=6,\quad (-3)\cdot 1=-3.
Somando:
\langle\vec{v},\vec{n}\rangle = -10 + (-8) + 6 + (-3) = -15.

Passo 6

Calcular \langle\vec{n},\vec{n}\rangle (norma ao quadrado de \vec{n}):
\langle\vec{n},\vec{n}\rangle = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 + 1^2 = 1+4+9+1 = 15.

Passo 7

Montar a projeção em H^\perp usando os resultados dos passos anteriores:
P_{H^\perp}\vec{v} = \frac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\langle\vec{n},\vec{n}\rangle}\,\vec{n} = \frac{-15}{15}\,\vec{n} = -1\cdot\vec{n}.
Portanto
P_{H^\perp}\vec{v} = -\vec{n} = (-1,2,-3,-1).

Passo 8

Agora obtenho a projeção em H pela fórmula \vec{w}=P_H\vec{v}=\vec{v}-P_{H^\perp}\vec{v}. Substituindo:
\vec{w} = (-10,4,2,-3) - (-1,2,-3,-1).
Subtraindo coordenada a coordenada (ou somando \vec{n}, já que -(-1,2,-3,-1)=(1,-2,3,1)):
\vec{w}=(-10+1,\;4-2,\;2+3,\;-3+1)=(-9,2,5,-2).

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): verificar que \vec{w} está em H, ou seja, que satisfaz x-2y+3z+w=0. Plugando \vec{w}=(-9,2,5,-2):
-9 - 2\cdot 2 + 3\cdot 5 + (-2) = -9 -4 +15 -2 = 0.
Então \vec{w}\in H, e a conta está consistente.

Resposta

(E) 5

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