Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
. O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e o subespaço
Pede para calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e em particular o valor da terceira coordenada
de
. As informações relevantes são:
- O vetor
é . - O plano
é dado pela equação linear . - A dica diz para projetar
em (o complemento ortogonal de ) e usar isso para obter .
Passo 2
Ideia geral e fundamento (sem cálculo ainda): qualquer vetor
em
pode ser escrito de forma única como
onde
e
. A projeção orthogonal de
sobre
é exatamente
. Portanto
onde
. Projetar em
costuma ser mais fácil quando
é a reta gerada por um vetor normal simples — é só usar a fórmula da projeção em uma reta.
Passo 3
Encontrar um vetor normal a
. A equação linear de
é
. Os coeficientes dessa equação formam um vetor normal a
. Então tomamos
que gera
(ou seja,
).
Passo 4
Fórmula da projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por
: se queremos
e
, então
onde
é o produto interno padrão (produto escalar). Vou explicar cada peça:
é a soma dos produtos das coordenadas correspondentes;
é o quadrado da norma de
. O coeficiente
é o quanto de
está em
.
Passo 5
Calcular
com contas bem detalhadas. Temos
e
. Então
Faço cada produto:
Somando:
Passo 6
Calcular
(norma ao quadrado de
):
Passo 7
Montar a projeção em
usando os resultados dos passos anteriores:
Portanto
Passo 8
Agora obtenho a projeção em
pela fórmula
. Substituindo:
Subtraindo coordenada a coordenada (ou somando
, já que
):
Passo 9
Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): verificar que
está em
, ou seja, que satisfaz
. Plugando
:
Então
, e a conta está consistente.
Resposta
(E)