e o vetor \vec{v}=(-3,0,2,-23,-8).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordemadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{1} do vetor \vec{x}. (Dica: nāo é necessário resolver um sistema linear!) (A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a primeira coordenada x_{1} do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} de \vec{v} na base \beta. Dados fornecidos (peguei os vetores diretamente do enunciado):
O que se pede: calcular x_{1}, a coordenada correspondente ao primeiro vetor da base (ou seja, ao vetor \begin{bmatrix}-1\\\ 3\\\ -1\\\ -1\\\ -4\end{bmatrix}).]
Passo 2
Fato importante (usado como ferramenta): a base \beta é ORTOGONAL. Para bases ortogonais vale a fórmula simples para a coordenada x_{i}:
onde \vec{b}_{i} é o i-ésimo vetor da base e \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto interno padrão (produto escalar) em \mathbb{R}^{5}.
Mini-aula rápida sobre essa fórmula (para você aplicar na prova): suponha que \vec{v}=x_{1}\vec{b}_{1}+\cdots+x_{5}\vec{b}_{5}. Fazendo produto escalar com \vec{b}_{1} e usando ortogonalidade (\langle \vec{b}_{j},\vec{b}_{1}\rangle=0 para j\neq1) obtemos \langle \vec{v},\vec{b}_{1}\rangle=x_{1}\langle \vec{b}_{1},\vec{b}_{1}\rangle. Daí isolamos x_{1} e chega-se na fórmula acima. Aqui \langle \vec{u},\vec{w}\rangle significa simplesmente somar os produtos das componentes correspondentes (produto escalar): se \vec{u}=(u_{1},\dots,u_{5}) e \vec{w}=(w_{1},\dots,w_{5}) então \langle \vec{u},\vec{w}\rangle=\sum_{k=1}^{5}u_{k}w_{k}.
Passo 3
Vamos calcular o numerador \langle \vec{v},\vec{b}_{1}\rangle. Tomando \vec{b}_{1}=\begin{bmatrix}-1\\[2pt]3\\[2pt]-1\\[2pt]-1\\[2pt]-4\end{bmatrix} e \vec{v}=\begin{bmatrix}-3\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]-23\\[2pt]-8\end{bmatrix}, fazemos produto componente a componente:
Prontinho: deu um número inteiro, simples — por isso a dica de não resolver sistema faz sentido.
Passo 6
Comparando com as alternativas fornecidas, a resposta corresponde à alternativa (F) que vale 2. Parabéns, é um cálculo direto se você lembrar da fórmula da projeção em base ortogonal — rápido na prova!