Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 3 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ -4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -3 \\\\ 9 \\\\ -3 \\\\ -4 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 4 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ -4 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 7 \\\\ 8 \\\\ 5 \\\\ 8 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\}
e o vetor \vec{v}=(-3,0,2,-23,-8).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordemadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{1} do vetor \vec{x}. (Dica: nāo é necessário resolver um sistema linear!) (A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a primeira coordenada x_{1} do vetor de coordenadas \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} de \vec{v} na base \beta. Dados fornecidos (peguei os vetores diretamente do enunciado):
\beta=\left\{\begin{bmatrix}-1\\[2pt]3\\[2pt]-1\\[2pt]-1\\[2pt]-4\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-3\\[2pt]3\\[2pt]2\\[2pt]-2\\[2pt]3\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}1\\[2pt]-3\\[2pt]9\\[2pt]-3\\[2pt]-4\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}4\\[2pt]1\\[2pt]-1\\[2pt]-4\\[2pt]1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}7\\[2pt]8\\[2pt]5\\[2pt]8\\[2pt]1\end{bmatrix}\right\}, \qquad \vec{v}=\begin{bmatrix}-3\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]-23\\[2pt]-8\end{bmatrix}.
O que se pede: calcular x_{1}, a coordenada correspondente ao primeiro vetor da base (ou seja, ao vetor \begin{bmatrix}-1\\\ 3\\\ -1\\\ -1\\\ -4\end{bmatrix}).]

Passo 2

Fato importante (usado como ferramenta): a base \beta é ORTOGONAL. Para bases ortogonais vale a fórmula simples para a coordenada x_{i}:
x_{i}=\frac{\langle \vec{v},\vec{b}_{i}\rangle}{\langle \vec{b}_{i},\vec{b}_{i}\rangle},
onde \vec{b}_{i} é o i-ésimo vetor da base e \langle \cdot,\cdot\rangle é o produto interno padrão (produto escalar) em \mathbb{R}^{5}.
Mini-aula rápida sobre essa fórmula (para você aplicar na prova): suponha que \vec{v}=x_{1}\vec{b}_{1}+\cdots+x_{5}\vec{b}_{5}. Fazendo produto escalar com \vec{b}_{1} e usando ortogonalidade ( \langle \vec{b}_{j},\vec{b}_{1}\rangle=0 para j\neq1) obtemos \langle \vec{v},\vec{b}_{1}\rangle=x_{1}\langle \vec{b}_{1},\vec{b}_{1}\rangle. Daí isolamos x_{1} e chega-se na fórmula acima. Aqui \langle \vec{u},\vec{w}\rangle significa simplesmente somar os produtos das componentes correspondentes (produto escalar): se \vec{u}=(u_{1},\dots,u_{5}) e \vec{w}=(w_{1},\dots,w_{5}) então \langle \vec{u},\vec{w}\rangle=\sum_{k=1}^{5}u_{k}w_{k}.

Passo 3

Vamos calcular o numerador \langle \vec{v},\vec{b}_{1}\rangle. Tomando \vec{b}_{1}=\begin{bmatrix}-1\\[2pt]3\\[2pt]-1\\[2pt]-1\\[2pt]-4\end{bmatrix} e \vec{v}=\begin{bmatrix}-3\\[2pt]0\\[2pt]2\\[2pt]-23\\[2pt]-8\end{bmatrix}, fazemos produto componente a componente:
\langle \vec{v},\vec{b}_{1}\rangle = (-3)(-1) + 0\cdot 3 + 2\cdot(-1) + (-23)(-1) + (-8)(-4).
Calculemos cada termo:
(-3)(-1)=3,\quad 0\cdot 3=0,\quad 2\cdot(-1)=-2,\quad (-23)(-1)=23,\quad (-8)(-4)=32.
Somando:
\langle \vec{v},\vec{b}_{1}\rangle = 3+0-2+23+32 = 56.]

Passo 4

Agora o denominador \langle \vec{b}_{1},\vec{b}_{1}\rangle, que é o quadrado da norma de \vec{b}_{1}:
\langle \vec{b}_{1},\vec{b}_{1}\rangle = (-1)^{2}+3^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-4)^{2}.
Calculando:
1+9+1+1+16 = 28.

Passo 5

Aplicando a fórmula para x_{1}:
x_{1}=\frac{\langle \vec{v},\vec{b}_{1}\rangle}{\langle \vec{b}_{1},\vec{b}_{1}\rangle}=\frac{56}{28}=2.
Prontinho: deu um número inteiro, simples — por isso a dica de não resolver sistema faz sentido.

Passo 6

Comparando com as alternativas fornecidas, a resposta corresponde à alternativa (F) que vale 2. Parabéns, é um cálculo direto se você lembrar da fórmula da projeção em base ortogonal — rápido na prova!

Resposta

\text{(F) }2

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