Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial II - O conjunto solução do sistema linear homogèneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} nāo é um subespaço vetorial.
III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=6 y-6 z\right\} não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeíra.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III sāo verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas sobre conjuntos em \mathbb{R}^{3} e pede que identifiquemos quais são verdadeiras ou falsas. Vou listar claramente cada afirmativa e o que ela afirma:
I - “O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial.”
II - “O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.”
III - " \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x=6y-6z\} não é subespaço vetorial."
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): os objetos mencionados são conjuntos de vetores em \mathbb{R}^{3}; devemos decidir, para cada afirmativa, se a negação “não é subespaço” é correta ou não.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): o núcleo (ou núcleo) de uma transformação linear T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} é o conjunto \ker(T)=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^{n}\mid T(\vec{v})=\overrightarrow{0}\}. Teorema útil: o núcleo de qualquer transformação linear é sempre um subespaço vetorial do domínio. Por quê? Porque contém o vetor zero ( T(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0} ), e é fechado sob soma e multiplicação por escalares: se T(\vec{u})=\overrightarrow{0} e T(\vec{v})=\overrightarrow{0} então T(\alpha\vec{u}+\beta\vec{v})=\alpha T(\vec{u})+\beta T(\vec{v})=\overrightarrow{0}.
Aplicando ao caso: uma "rotação em \mathbb{R}^{3}" normalmente é uma transformação linear (representada por matriz ortogonal com determinante 1). Logo seu núcleo é um subespaço. Conclusão para I: a afirmativa I diz que o núcleo “não é subespaço”, o que contradiz o fato geral — portanto I é falsa.
Comentário adicional (para fixar): por exemplo, a rotação em torno de um eixo tem \ker(T)=\{\overrightarrow{0}\} (se não anula vetores não-nulos), e \{\overrightarrow{0}\} é um subespaço trivial. Mesmo se a rotação fosse a identidade, o núcleo continua sendo \{\overrightarrow{0}\}. Em todo caso, núcleo é sempre subespaço.

Passo 3

Conceito importante (aula rápida): o conjunto solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é exatamente o núcleo da transformação linear associada à matriz A. Denotamos esse conjunto por \ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}. Pelo mesmo argumento do passo anterior, esse conjunto é sempre um subespaço vetorial (contém \overrightarrow{0} e é fechado em soma e multiplicação por escalares).
Aplicando ao caso: a afirmativa II diz que esse conjunto “não é um subespaço”. Isso contradiz o fato geral — portanto II é falsa.
Exemplo simples para entender: se A é a matriz 2\times 2 identidade, a solução é só \{\overrightarrow{0}\}, que é subespaço. Se A tem uma linha dependente, a solução pode ser um subespaço de dimensão maior, por exemplo um plano que passa pela origem — também subespaço.

Passo 4

Agora analisamos a afirmativa III: o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x=6y-6z\}.
Queremos checar se S é subespaço. Vou ensinar duas formas usuais e usarei a mais direta:
Método 1 (fechamento): verificar se \overrightarrow{0}\in S, se soma de elementos de S está em S, e se múltiplos escalares de elementos de S estão em S.
  • Verificar \overrightarrow{0}: para (x,y,z)=(0,0,0) temos x=0 e 6y-6z=0, então 0=0. Assim \overrightarrow{0}\in S.
  • Fechamento por soma: tomemos \vec{u}=(6y_1-6z_1,y_1,z_1) e \vec{v}=(6y_2-6z_2,y_2,z_2) em S. A soma é
\vec{u}+\vec{v}=(6(y_1+y_2)-6(z_1+z_2),\,y_1+y_2,\,z_1+z_2),
e vemos que a primeira coordenada vale 6(y_1+y_2)-6(z_1+z_2), logo a soma satisfaz a mesma condição e está em S.
  • Fechamento por escalares: para \alpha\in\mathbb{R},
\alpha\vec{u}=(6(\alpha y_1)-6(\alpha z_1),\,\alpha y_1,\,\alpha z_1),
logo \alpha\vec{u} também satisfaz x=6y-6z.
Portanto S é fechado e contém o zero: S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Método 2 (representação como span, mais compacto): reescrever um vetor em S em função de parâmetros y,z:
(x,y,z)=(6y-6z,y,z)=y(6,1,0)+z(-6,0,1).
Assim S=\operatorname{span}\{(6,1,0),(-6,0,1)\}, que é por definição um subespaço (o subespaço gerado por esses dois vetores). Isso confirma que a afirmação “não é subespaço” é falsa para III.

Passo 5

Resumo das conclusões:
  • I é falsa (o núcleo de uma transformação linear — inclusive uma rotação linear — é subespaço).
  • II é falsa (o conjunto solução do sistema homogêneo é o núcleo de A, portanto subespaço).
  • III é falsa (o conjunto é um plano que passa pela origem, ou o span de dois vetores, logo é subespaço).
Portanto todas as três afirmativas são falsas.

Resposta

(A)

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