Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O núcleo de uma rotação em
não é subespaço vetorial II - O conjunto solução do sistema linear homogèneo
nāo é um subespaço vetorial.
III -
não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeíra.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III sāo verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - O núcleo de uma rotação em
III -
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeíra.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III sāo verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas sobre conjuntos em
e pede que identifiquemos quais são verdadeiras ou falsas. Vou listar claramente cada afirmativa e o que ela afirma:
I - “O núcleo de uma rotação em
não é subespaço vetorial.”
II - “O conjunto solução do sistema linear homogêneo não é um subespaço vetorial.”
III - " não é subespaço vetorial."
II - “O conjunto solução do sistema linear homogêneo
III - "
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): os objetos mencionados são conjuntos de vetores em
; devemos decidir, para cada afirmativa, se a negação “não é subespaço” é correta ou não.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): o núcleo (ou núcleo) de uma transformação linear
é o conjunto
. Teorema útil: o núcleo de qualquer transformação linear é sempre um subespaço vetorial do domínio. Por quê? Porque contém o vetor zero (
), e é fechado sob soma e multiplicação por escalares: se
e
então
.
Aplicando ao caso: uma "rotação em
" normalmente é uma transformação linear (representada por matriz ortogonal com determinante
). Logo seu núcleo é um subespaço. Conclusão para I: a afirmativa I diz que o núcleo “não é subespaço”, o que contradiz o fato geral — portanto I é falsa.
Comentário adicional (para fixar): por exemplo, a rotação em torno de um eixo tem
(se não anula vetores não-nulos), e
é um subespaço trivial. Mesmo se a rotação fosse a identidade, o núcleo continua sendo
. Em todo caso, núcleo é sempre subespaço.
Passo 3
Conceito importante (aula rápida): o conjunto solução do sistema homogêneo
é exatamente o núcleo da transformação linear associada à matriz
. Denotamos esse conjunto por
. Pelo mesmo argumento do passo anterior, esse conjunto é sempre um subespaço vetorial (contém
e é fechado em soma e multiplicação por escalares).
Aplicando ao caso: a afirmativa II diz que esse conjunto “não é um subespaço”. Isso contradiz o fato geral — portanto II é falsa.
Exemplo simples para entender: se
é a matriz
identidade, a solução é só
, que é subespaço. Se
tem uma linha dependente, a solução pode ser um subespaço de dimensão maior, por exemplo um plano que passa pela origem — também subespaço.
Passo 4
Agora analisamos a afirmativa III: o conjunto
Queremos checar se
é subespaço. Vou ensinar duas formas usuais e usarei a mais direta:
Método 1 (fechamento): verificar se
, se soma de elementos de
está em
, e se múltiplos escalares de elementos de
estão em
.
- Verificar
: para temos e , então . Assim . - Fechamento por soma: tomemos
e em . A soma é
e vemos que a primeira coordenada vale
, logo a soma satisfaz a mesma condição e está em
.
- Fechamento por escalares: para
,
logo
também satisfaz
.
Portanto
é fechado e contém o zero:
é um subespaço vetorial de
.
Método 2 (representação como span, mais compacto): reescrever um vetor em
em função de parâmetros
:
Assim
, que é por definição um subespaço (o subespaço gerado por esses dois vetores). Isso confirma que a afirmação “não é subespaço” é falsa para III.
Passo 5
Resumo das conclusões:
- I é falsa (o núcleo de uma transformação linear — inclusive uma rotação linear — é subespaço).
- II é falsa (o conjunto solução do sistema homogêneo é o núcleo de
, portanto subespaço). - III é falsa (o conjunto é um plano que passa pela origem, ou o span de dois vetores, logo é subespaço).
Portanto todas as três afirmativas são falsas.
Resposta
(A)