Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 0 & -7 \\\\ 1 & 0 & 3 & 12 \\\\ -1 & -2 & 4 & 17 \\\\ 1 & 0 & -3 & -16 \end{array}\right] .
Assinale o valor de x_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução, no sentido dos mínimos quadrados, da equação A\vec{x}=\vec{b} cuja matriz aumentada é
\left[\begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 0 & -7 \\\\ 1 & 0 & 3 & 12 \\\\ -1 & -2 & 4 & 17 \\\\ 1 & 0 & -3 & -16 \end{array}\right].
Informações dadas (lista explícita):
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 3\\[4pt] -1 & -2 & 4\\[4pt] 1 & 0 & -3 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}-7\\[4pt]12\\[4pt]17\\[4pt]-16\end{pmatrix}.
O que se pede: determinar a terceira coordenada x_{3} da solução \vec{x} em mínimos quadrados.]

Passo 2

Ideia dos mínimos quadrados (explicadinha):
  • Quando o sistema A\vec{x}=\vec{b} não tem solução exata (ou temos mais equações do que incógnitas), procuramos \vec{x} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos, isto é minimiza \|\!A\vec{x}-\vec{b}\|\!^{2}.
  • A condição necessária para o mínimo é que o gradiente da função quadrática seja zero. Isso dá as equações normais
A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Aqui A^{T} é a transposta de A. Essa é a fórmula que vamos usar: basta calcular A^{T}A e A^{T}\vec{b} e resolver o sistema linear resultante.

Passo 3

Escrevo as colunas de A (útil para calcular produtos internos):
\text{coluna }1 = \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-1\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \text{coluna }2 = \begin{pmatrix}2\\[4pt]0\\[4pt]-2\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad \text{coluna }3 = \begin{pmatrix}0\\[4pt]3\\[4pt]4\\[4pt]-3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo A^{T}A fazendo produtos internos das colunas (cada entrada (i,j) é o produto escalar da coluna i com a coluna j):
  • \text{coluna }1\cdot\text{coluna }1 = 1^{2}+1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}=4.
  • \text{coluna }1\cdot\text{coluna }2 = 1\cdot2+1\cdot0+(-1)\cdot(-2)+1\cdot0=2+0+2+0=4.
  • \text{coluna }1\cdot\text{coluna }3 = 1\cdot0+1\cdot3+(-1)\cdot4+1\cdot(-3)=0+3-4-3=-4.
  • \text{coluna }2\cdot\text{coluna }2 = 2^{2}+0^{2}+(-2)^{2}+0^{2}=8.
  • \text{coluna }2\cdot\text{coluna }3 = 2\cdot0+0\cdot3+(-2)\cdot4+0\cdot(-3)= -8.
  • \text{coluna }3\cdot\text{coluna }3 = 0^{2}+3^{2}+4^{2}+(-3)^{2}=34.
Portanto
A^{T}A=\begin{pmatrix} 4 & 4 & -4\\[4pt] 4 & 8 & -8\\[4pt] -4 & -8 & 34 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calculo A^{T}\vec{b} como produtos internos das colunas de A com \vec{b}:
  • componente 1: 1(-7)+1(12)+(-1)(17)+1(-16)=-7+12-17-16=-28.
  • componente 2: 2(-7)+0(12)+(-2)(17)+0(-16)=-14-34=-48.
  • componente 3: 0(-7)+3(12)+4(17)+(-3)(-16)=0+36+68+48=152.
Logo
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}-28\\[4pt]-48\\[4pt]152\end{pmatrix}.]

Passo 6

As equações normais ficam
\begin{pmatrix} 4 & 4 & -4\\[4pt] 4 & 8 & -8\\[4pt] -4 & -8 & 34 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-28\\[4pt]-48\\[4pt]152\end{pmatrix}.
Para simplificar, divido as duas primeiras linhas por 4:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}-x_{3}=-7,\\[4pt] x_{1}+2x_{2}-2x_{3}=-12,\\[4pt] -4x_{1}-8x_{2}+34x_{3}=152. \end{cases}]

Passo 7

Faço eliminação entre as duas primeiras equações: subtraindo a primeira da segunda:
(x_{1}+2x_{2}-2x_{3})-(x_{1}+x_{2}-x_{3})=( -12)-(-7)
\Rightarrow x_{2}-x_{3}=-5.
Logo
x_{2}=x_{3}-5.

Passo 8

Usando a primeira equação x_{1}+x_{2}-x_{3}=-7 e substituindo x_{2}=x_{3}-5}:
x_{1}+(x_{3}-5)-x_{3}=-7 \Rightarrow x_{1}-5=-7 \Rightarrow x_{1}=-2.
Observação simpática: x_{1} ficou fixo em -2 independentemente de x_{3}.

Passo 9

Substituo x_{1}=-2 e x_{2}=x_{3}-5 na terceira equação -4x_{1}-8x_{2}+34x_{3}=152:
-4(-2)-8(x_{3}-5)+34x_{3}=152.
Calculo passo a passo:
8 -8x_{3}+40+34x_{3}=152\quad\Rightarrow\quad 48+26x_{3}=152.
Subtraindo 48:
26x_{3}=104 \quad\Rightarrow\quad x_{3}= \frac{104}{26}=4.

Passo 10

Faço substituições finais:
x_{3}=4,\qquad x_{2}=x_{3}-5=4-5=-1,\qquad x_{1}=-2.
Então a solução de mínimos quadrados é \vec{x}=(-2,\,-1,\,4)^{T} e a terceira entrada vale 4.

Resposta

(H) 4

Exercícios relacionados