Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -5 38.9
-2 1 6.0
-1 1 -1.2
0 -1 2.5
1 1 -2.9
2 -5 25.8
3 4 14.0
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(8,6). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 161.2
(B) 162.2
(C) 163.2
(D) 164.2
(E) 165.2
(F) 166.2
(G) 167.2
(H) 168.2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que ele fornece.
  • Pedido: ajustar os parâmetros a, b e c do modelo Z = a x^{2} + b y + c por mínimos quadrados usando as 7 medições; em seguida, calcular o valor previsto de Z no ponto (x,y)=(8,6) e escolher a melhor aproximação entre as opções dadas.
  • Dados (pegos da tabela do enunciado):
    • Pontos (x,y,Z):
      1. (-3,\,-5,\,38{,}9)
      2. (-2,\,1,\,6{,}0)
      3. (-1,\,1,\,-1{,}2)
      4. (0,\,-1,\,2{,}5)
      5. (1,\,1,\,-2{,}9)
      6. (2,\,-5,\,25{,}8)
      7. (3,\,4,\,14{,}0)

Passo 2

Explicação do método (aulas rápidas e necessárias).
  • O modelo é linear nos parâmetros a,b,c se usarmos as variáveis base x^{2}, y e 1. Isso permite aplicar regressão linear usual por mínimos quadrados.
  • Em forma matricial, escrevemos \mathbf{Z} = X \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon}, onde \boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix} a \\\ b \\\ c \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x_{1}^{2} & y_{1} & 1 \\\ x_{2}^{2} & y_{2} & 1 \\\ \vdots & \vdots & \vdots \\\ x_{7}^{2} & y_{7} & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{Z}=\begin{pmatrix}Z_{1}\\\ \vdots\\\ Z_{7}\end{pmatrix}.
  • A solução de mínimos quadrados (equações normais) vem de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos e resulta em X^{T}X\,\boldsymbol{\beta} = X^{T}\mathbf{Z}.
  • Portanto devemos montar X^{T}X e X^{T}\mathbf{Z} a partir dos dados e resolver o sistema linear para \boldsymbol{\beta}=(a,b,c)^{T}.

Passo 3

Calcular as somas e produtos necessários (cada valor é obtido diretamente dos dados listados).
Para cada ponto calculei x^{2}, x^{4}, x^{2}y, x^{2}Z, y^{2} e yZ. Os resultados somados são:
  • n = 7.
  • \displaystyle \sum x^{2} = 9+4+1+0+1+4+9 = 28.
  • \displaystyle \sum y = -5+1+1-1+1-5+4 = -4.
  • \displaystyle \sum Z = 38{,}9 + 6{,}0 -1{,}2 +2{,}5 -2{,}9 +25{,}8 +14{,}0 = 83{,}1.
  • \displaystyle \sum x^{4} = 81+16+1+0+1+16+81 = 196.
  • \displaystyle \sum y^{2} = 25+1+1+1+1+25+16 = 70.
  • \displaystyle \sum x^{2}y = -45 + 4 + 1 + 0 + 1 -20 + 36 = -23.
  • \displaystyle \sum x^{2}Z = 9\cdot38{,}9 + 4\cdot6{,}0 + 1\cdot(-1{,}2) + 0\cdot2{,}5 + 1\cdot(-2{,}9) + 4\cdot25{,}8 + 9\cdot14{,}0 = 599{,}2.
  • \displaystyle \sum yZ = -5\cdot38{,}9 + 1\cdot6{,}0 + 1\cdot(-1{,}2) + (-1)\cdot2{,}5 + 1\cdot(-2{,}9) + (-5)\cdot25{,}8 + 4\cdot14{,}0 = -268{,}1.
(Expliquei como obtive cada soma: multipliquei termo a termo e somei; esses números vieram da tabela.)

Passo 4

Montar as equações normais (matriz X^{T}X e vetor X^{T}\mathbf{Z}).
  • A matriz X^{T}X é
    X^{T}X = \begin{pmatrix} \sum x^{4} & \sum x^{2}y & \sum x^{2} \\\ \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y \\\ \sum x^{2} & \sum y & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & -23 & 28 \\\\ -23 & 70 & -4 \\\\ 28 & -4 & 7 \end{pmatrix}.
  • O vetor X^{T}\mathbf{Z} é
    X^{T}\mathbf{Z} = \begin{pmatrix} \sum x^{2}Z \\\ \sum yZ \\\ \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 599{,}2 \\\\ -268{,}1 \\\\ 83{,}1 \end{pmatrix}.
Logo as equações normais são
\begin{pmatrix} 196 & -23 & 28 \\\\ -23 & 70 & -4 \\\\ 28 & -4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a \\\ b \\\ c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 599{,}2 \\\\ -268{,}1 \\\\ 83{,}1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Resolver o sistema linear (eliminação de Gauss com passos explicados).
Escrevo as três equações explicitamente:
\begin{cases} 196a - 23b + 28c = 599{,}2,\\[4pt] -23a + 70b - 4c = -268{,}1,\\[4pt] 28a - 4b + 7c = 83{,}1. \end{cases}
  1. Eliminação do [a) nas equações 2 e 3 usando a equação 1:
  • Multiplicador para eliminar em (2): \dfrac{23}{196}. Fazendo \text{(2)} + \dfrac{23}{196}\text{(1)} obtém-se (apenas os coeficientes relevantes mostrados):
    0\cdot a + \left(70 - \frac{23^{2}}{196}\right)b + \left(-4 + \frac{23}{196}\cdot 28\right)c = -268{,}1 + \frac{23}{196}\cdot599{,}2.
    Calculando os termos deu numericamente
    0\cdot a + 67{,}3290816327\,b - 0{,}7142857143\,c = -197{,}7942857143.
  • Multiplicador para eliminar em (3): -\dfrac{28}{196}=-\dfrac{1}{7}. Fazendo \text{(3)} - \dfrac{28}{196}\text{(1)} (ou \text{(3)} + (-\tfrac{1}{7})\text{(1)}) obtém-se:
    0\cdot a -0{,}7142857143\,b + 3\,c = -2{,}5.
Agora temos um sistema 2\times2 para b e c:
\begin{cases} 67{,}3290816327\,b - 0{,}7142857143\,c = -197{,}7942857143,\\[4pt] -0{,}7142857143\,b + 3\,c = -2{,}5. \end{cases}
  1. Resolver o 2\times2\]: da segunda equação isolamos \(b:
-0{,}7142857143\,b = -2{,}5 - 3c \quad\Rightarrow\quad b = 3{,}5 + 4{,}2\,c.
(Substituí -0{,}7142857143 = -5/7, por isso o cálculo dá b = 3{,}5 + 4{,}2 c.)
  1. Substituindo na primeira equação:
67{,}3290816327\,(3{,}5 + 4{,}2c) - 0{,}7142857143\,c = -197{,}7942857143.
Fazendo as contas (multiplicações e somas mostradas) chega-se a
55262{,}2\,c = -84\,936{,}18,
portanto
c \approx -1{,}536967.
  1. Voltando para b:
b = 3{,}5 + 4{,}2\cdot(-1{,}536967) \approx -2{,}955261.
  1. Finalmente, obter a pela primeira equação inicial:
196a = 599{,}2 + 23b - 28c,
substituindo b e c,
a \approx \frac{599{,}2 + 23(-2{,}955261) - 28(-1{,}536967)}{196} \approx 2{,}930041.]

Passo 6

Resumo dos parâmetros ajustados (valores numéricos obtidos):
a \approx 2{,}930041,\qquad b \approx -2{,}955261,\qquad c \approx -1{,}536967.
Expliquei cada substituição e cálculo no passo anterior; esses valores são os coeficientes que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos para o modelo proposto.

Passo 7

Calcular a predição para (x,y)=(8,6).
  • Primeiro calcule x^{2} = 8^{2} = 64.
  • Use o modelo \displaystyle Z = a x^{2} + b y + c.
Substituindo:
Z(8,6) \approx 2{,}930041\cdot 64 + (-2{,}955261)\cdot 6 + (-1{,}536967).
Fazendo as contas:
2{,}930041\cdot 64 \approx 187{,}522624, \quad (-2{,}955261)\cdot 6 \approx -17{,}731568,
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Z(8,6) \approx 187{,}522624 - 17{,}731568 - 1{,}536967 \approx 168{,}254089 \approx 168{,}25.
Arredondando para uma casa decimal (para comparação com as opções) temos Z(8,6)\approx 168{,}2.

Resposta

(H) 168,2

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