Q12: Sejam \vec{v}=(-17,3,-1,-4) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y+3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre o subespaço H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-2y+3z+w=0\},e em particular encontrar a terceira entrada \,w_{3}\, de \vec{w}.
  • O vetor dado é \vec{v}=(-17,\,3,\,-1,\,-4).
  • Da equação de H podemos extrair explicitamente o vetor normal \vec{n}=(1,\,-2,\,3,\,1),pois a condição x-2y+3z+w=0 é \vec{n}\cdot(x,y,z,w)=0.
  • Dica do enunciado: projetar \vec{v} em H^{\perp}. Isso significa calcular a componente de \vec{v} na direção de \vec{n} e subtrair de \vec{v} para obter a projeção em H.

Passo 2

Por que projetar em H^{\perp} é mais fácil:
  • H^{\perp} é o subespaço gerado pelo vetor normal \vec{n}, ou seja \,H^{\perp}=\operatorname{span}\{\vec{n}\}\,, que é 1‑dimensional.
  • Projetar em um subespaço de dimensão 1 significa projetar em uma reta; a fórmula é simples: basta calcular o coeficiente escalar \alpha tal que a projeção em H^{\perp} seja \alpha\vec{n}.
  • Depois \vec{w}= \vec{v}- (projeção de \vec{v} em H^{\perp}).

Passo 3

Fórmula da projeção em uma reta gerada por \vec{n}:
  • A projeção ortogonal de \vec{v} sobre \operatorname{span}\{\vec{n}\} é \operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\;\vec{n}.
  • Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar (somatório dos produtos das componentes) e \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}.
  • Após encontrar \operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} fazemos \vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v},porque a componente de \vec{v} em H é a parte de \vec{v} ortogonal ao normal.

Passo 4

Calcular \vec{v}\cdot\vec{n}:
  • Multiplicando componente a componente e somando: \vec{v}\cdot\vec{n}=(-17)\cdot 1 + 3\cdot(-2) + (-1)\cdot 3 + (-4)\cdot 1.
  • Fazendo as contas: (-17)\cdot 1 = -17,\quad 3\cdot(-2)=-6,\quad (-1)\cdot 3=-3,\quad (-4)\cdot 1=-4.
  • Somando: \vec{v}\cdot\vec{n} = -17-6-3-4 = -30.

Passo 5

Calcular \vec{n}\cdot\vec{n} (norma ao quadrado de \vec{n}):
  • Componentes ao quadrado somadas: \vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+(-2)^2+3^2+1^2 = 1+4+9+1 = 15.

Passo 6

Calcular o coeficiente escalar \alpha e a projeção em H^{\perp}:
  • O coeficiente é \alpha=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{-30}{15}=-2.
  • Portanto \operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} = \alpha\vec{n} = -2\,(1,\,-2,\,3,\,1) = (-2,\,4,\,-6,\,-2).

Passo 7

Obter \vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} e calcular a terceira entrada:
  • Subtraindo componente a componente: \vec{w} = (-17,\,3,\,-1,\,-4) - (-2,\,4,\,-6,\,-2).
  • Isso dá \vec{w} = (-17-(-2),\;3-4,\;-1-(-6),\;-4-(-2)).
  • Calculando cada entrada: -17-(-2) = -15,\quad 3-4=-1,\quad -1-(-6)=5,\quad -4-(-2)=-2.
  • Assim \vec{w}=(-15,\,-1,\,5,\,-2).

Passo 8

Conclusão e correspondência com as alternativas:
  • A terceira entrada é w_{3}=5.
  • Entre as opções dadas, isto corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E) 5

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