Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular
, a projeção ortogonal de sobre o subespaço e em particular encontrar a terceira entrada de . - O vetor dado é
. - Da equação de
podemos extrair explicitamente o vetor normal pois a condição é . - Dica do enunciado: projetar
em . Isso significa calcular a componente de na direção de e subtrair de para obter a projeção em .
Passo 2
Por que projetar em
é mais fácil:
-
é o subespaço gerado pelo vetor normal , ou seja , que é 1‑dimensional. - Projetar em um subespaço de dimensão 1 significa projetar em uma reta; a fórmula é simples: basta calcular o coeficiente escalar
tal que a projeção em seja . - Depois
(projeção de em ).
Passo 3
Fórmula da projeção em uma reta gerada por
:
- A projeção ortogonal de
sobre é - Aqui
é o produto escalar (somatório dos produtos das componentes) e é o quadrado da norma de . - Após encontrar
fazemos porque a componente de em é a parte de ortogonal ao normal.
Passo 4
Calcular
:
- Multiplicando componente a componente e somando:
- Fazendo as contas:
- Somando:
Passo 5
Calcular
(norma ao quadrado de
):
- Componentes ao quadrado somadas:
Passo 6
Calcular o coeficiente escalar
e a projeção em
:
- O coeficiente é
- Portanto
Passo 7
Obter
e calcular a terceira entrada:
- Subtraindo componente a componente:
- Isso dá
- Calculando cada entrada:
- Assim
Passo 8
Conclusão e correspondência com as alternativas:
- A terceira entrada é
. - Entre as opções dadas, isto corresponde à alternativa (E).
Resposta
(E)