Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (-4,-2,-1,1) e ( 4,3,-3,0 ) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^{4}:
\mathbf{u}=(-4,-2,-1,1),\qquad \mathbf{v}=(4,3,-3,0),
e pede o ângulo \theta entre esses vetores, para que possamos escolher a alternativa correta entre as faixas de ângulo listadas.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que liga produto escalar e ângulo entre vetores. Para dois vetores \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n) em \mathbb{R}^n vale:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n}u_i v_i,
e a relação com o ângulo \theta é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta.
Aqui \|\mathbf{u}\| é a norma Euclidiana de \mathbf{u},
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}u_i^2}.
Em palavras: calcule o produto escalar e as normas, daí \cos\theta=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})/(\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|). A partir de \cos\theta obtemos \theta (ou comparamos \cos\theta com cossenos de ângulos conhecidos).

Passo 3

Calculemos o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} termo a termo:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(-4)\cdot4+(-2)\cdot3+(-1)\cdot(-3)+1\cdot0.
Agora as contas:
(-4)\cdot4=-16,\quad (-2)\cdot3=-6,\quad (-1)\cdot(-3)=3,\quad 1\cdot0=0,
portanto
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-16-6+3+0=-19.

Passo 4

Calculemos as normas:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{16+4+1+1}=\sqrt{22},
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{4^2+3^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{16+9+9+0}=\sqrt{34}.

Passo 5

Usando a fórmula do passo 2,
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|} =\frac{-19}{\sqrt{22}\sqrt{34}}=\frac{-19}{\sqrt{22\cdot34}}=\frac{-19}{\sqrt{748}}.
Observando que 748=4\cdot187, podemos escrever
\cos\theta=\frac{-19}{2\sqrt{187}}.

Passo 6

Vamos obter um valor aproximado de \cos\theta para comparar com os cossenos dos limites das alternativas. Aproximações:
\sqrt{187}\approx 13{,}6748,\quad 2\sqrt{187}\approx 27{,}3496,
logo
\cos\theta\approx\frac{-19}{27{,}3496}\approx -0{,}6950.

Passo 7

Agora comparemos com os cossenos dos ângulos das alternativas relevantes:
\cos\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{1}{2}=-0{,}5,\qquad \cos\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}7071.
A função \cos é decrescente no intervalo [0,\pi]. Temos
-0{,}7071\approx\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{4}\right)<-0{,}6950\approx\cos\theta<\cos\!\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=-0{,}5.
Como \cos é decrescente em [0,\pi], a desigualdade acima implica
\frac{2\pi}{3}<\theta<\frac{3\pi}{4}.
Portanto \theta pertence à faixa indicada na alternativa (F), que diz 2\pi/3<\theta\le 3\pi/4. Nosso cálculo numérico deu \theta<3\pi/4 estrito, então a alternativa (F) é a correta porque contém o intervalo aberto à esquerda e fechado à direita que envolve o valor exato.

Passo 8

Resumo final: calculamos \cos\theta=\dfrac{-19}{\sqrt{748}}\approx -0{,}6950, que corresponde a um ângulo \theta com
\frac{2\pi}{3}<\theta<\frac{3\pi}{4},
logo a alternativa correta é a (F).

Resposta

(F)

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