Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(2,0,0,-1),(0,-2,0,1),(-6,4,0,1)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(-2,4,-3,4),(-3,3,2,3)\}
(B) \{(1,1,4,2)\}
(C) \{(-3,3,2,3)\}
(D) \{(-2,4,-3,4),(2,2,-2,4)\}
(E) \{(1,1,4,2),(2,2,-2,4)\}
(F) \{(-2,4,-3,4)\}
(G) \{(2,2,-2,4)\}
(H) \{(1,1,4,2),(-3,3,2,3)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado pelos vetores
v_1=(2,0,0,-1),\quad v_2=(0,-2,0,1),\quad v_3=(-6,4,0,1).
A pergunta é: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)? As alternativas fornecem várias coleções de um ou dois vetores em \mathbb{R}^4; devemos verificar qual (se alguma) é de fato uma base de H^{\perp}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar H verificando se os geradores são linearmente independentes. Calculemos uma combinação linear simples:
-3v_1 -2v_2 = -3(2,0,0,-1) -2(0,-2,0,1).
Fazendo as contas coordenada a coordenada:
-3v_1 = (-6,0,0,3),\qquad -2v_2=(0,4,0,-2).
Somando:
-3v_1-2v_2 = (-6,4,0,1) = v_3.
Logo v_3 é combinação linear de v_1 e v_2; portanto H=\operatorname{span}\{v_1,v_2\} e \dim(H)=2.
Como estamos em \mathbb{R}^4, pela fórmula das dimensões dos complementos ortogonais temos
\dim(H^{\perp}) = 4 - \dim(H) = 4-2 = 2.
Portanto H^{\perp} é um subespaço de dimensão 2: qualquer base de H^{\perp} deve ter exatamente dois vetores linearmente independentes que sejam ambos ortogonais a v_1 e a v_2.

Passo 3

Para encontrar H^{\perp} resolvemos o sistema de equações obtido impondo ortogonalidade a v_1 e v_2. Seja x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4. As condições são
v_1\cdot x = 0,\qquad v_2\cdot x = 0.
Escrevendo as duas equações:
v_1\cdot x = 2x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 -1\cdot x_4 = 2x_1 - x_4 = 0,
v_2\cdot x = 0\cdot x_1 -2x_2 + 0\cdot x_3 +1\cdot x_4 = -2x_2 + x_4 = 0.
Das duas equações obtemos:
x_4 = 2x_1,\qquad x_4 = 2x_2.
Portanto 2x_1 = 2x_2, ou seja x_1 = x_2. A coordenada x_3 não aparece nas equações, então é livre. Tomando parâmetros t para x_1=x_2 e s para x_3, obtemos a forma geral:
x = (t,t,s,2t) = t(1,1,0,2) + s(0,0,1,0).
Logo um conjunto natural de geradores (e na verdade base) de H^{\perp} é
\{(1,1,0,2),\; (0,0,1,0)\}.

Passo 4

Verificamos que esses dois vetores são linearmente independentes: se a(1,1,0,2)+b(0,0,1,0)=(0,0,0,0), olhando as coordenadas obtemos a=0 e b=0. Assim são de fato uma base de H^{\perp}.
Agora comparamos com as alternativas: um vetor está em H^{\perp} sse suas coordenadas satisfazem x_1=x_2 e x_4=2x_1.
  • Verificação rápida de cada vetor das alternativas:
    • (-2,4,-3,4): aqui x_1=-2, x_2=4 (não iguais) ⇒ não está em H^{\perp}.
    • (-3,3,2,3): x_1\neq x_2 ⇒ não está em H^{\perp}.
    • (1,1,4,2): x_1=1=x_2 e x_4=2=2\cdot1 ⇒ está em H^{\perp}.
    • (2,2,-2,4): x_1=2=x_2 e x_4=4=2\cdot2 ⇒ está em H^{\perp}.
Portanto apenas as alternativas formadas por vetores que satisfazem as duas igualdades podem ser candidatas. Além disso como \dim(H^{\perp})=2, qualquer base precisa ter 2 vetores linearmente independentes dentro de H^{\perp}.
A alternativa (E) fornece exatamente os dois vetores (1,1,4,2) e (2,2,-2,4). Já verificamos que ambos pertencem a H^{\perp}. Eles não são múltiplos um do outro (pois, por exemplo, a terceira coordenada é 4 no primeiro e -2 no segundo), então são linearmente independentes. Assim a alternativa (E) descreve dois vetores em H^{\perp} e linearmente independentes — portanto formam uma base de H^{\perp}.
Todas as outras alternativas ou contêm vetores que não pertencem a H^{\perp} (ex.: vetores com x_1\neq x_2) ou têm apenas um vetor (dimensão insuficiente) ou ambos os problemas.

Resposta

(E)

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