Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado pelos vetores
A pergunta é: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de
(o complemento ortogonal de
)? As alternativas fornecem várias coleções de um ou dois vetores em
; devemos verificar qual (se alguma) é de fato uma base de
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar
verificando se os geradores são linearmente independentes. Calculemos uma combinação linear simples:
Fazendo as contas coordenada a coordenada:
Somando:
Logo
é combinação linear de
e
; portanto
e
.
Como estamos em
, pela fórmula das dimensões dos complementos ortogonais temos
Portanto
é um subespaço de dimensão
: qualquer base de
deve ter exatamente dois vetores linearmente independentes que sejam ambos ortogonais a
e a
.
Passo 3
Para encontrar
resolvemos o sistema de equações obtido impondo ortogonalidade a
e
. Seja
. As condições são
Escrevendo as duas equações:
Das duas equações obtemos:
Portanto
, ou seja
. A coordenada
não aparece nas equações, então é livre. Tomando parâmetros
para
e
para
, obtemos a forma geral:
Logo um conjunto natural de geradores (e na verdade base) de
é
Passo 4
Verificamos que esses dois vetores são linearmente independentes: se
, olhando as coordenadas obtemos
e
. Assim são de fato uma base de
.
Agora comparamos com as alternativas: um vetor está em
sse suas coordenadas satisfazem
e
.
- Verificação rápida de cada vetor das alternativas:
-
: aqui , (não iguais) ⇒ não está em . -
: ⇒ não está em . -
: e ⇒ está em . -
: e ⇒ está em .
-
Portanto apenas as alternativas formadas por vetores que satisfazem as duas igualdades podem ser candidatas. Além disso como
, qualquer base precisa ter 2 vetores linearmente independentes dentro de
.
A alternativa (E) fornece exatamente os dois vetores
e
. Já verificamos que ambos pertencem a
. Eles não são múltiplos um do outro (pois, por exemplo, a terceira coordenada é
no primeiro e
no segundo), então são linearmente independentes. Assim a alternativa (E) descreve dois vetores em
e linearmente independentes — portanto formam uma base de
.
Todas as outras alternativas ou contêm vetores que não pertencem a
(ex.: vetores com
) ou têm apenas um vetor (dimensão insuficiente) ou ambos os problemas.
Resposta
(E)