Q12: Sejam \vec{v}=(-20,3,5,-4) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y+3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\text {a }} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado dá:
  • O vetor \vec{v} = (-20,3,5,-4).
  • O subespaço H = \{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-2y+3z+w=0\}.
O que é pedido:
  • Calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
  • Em particular, identificar o valor de w_{3}, a 3ª entrada de \vec{w}.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A equação x-2y+3z+w=0 fornece um vetor normal ao hiperplano H, que é \vec{n}=(1,-2,3,1).

Passo 2

Ideia e razão para projetar em H^{\perp}: qualquer vetor \vec{v} em \mathbb{R}^4 se decompõe unicamente como
\vec{v}=\vec{v}_{H}+\vec{v}_{\perp},
onde \vec{v}_{H}\in H e \vec{v}_{\perp}\in H^{\perp}. A projeção de \vec{v} em H é precisamente \vec{v}_{H}. Logo
P_{H}\vec{v}=\vec{v}-P_{H^{\perp}}\vec{v}.
Como H é um hiperplano, H^{\perp} é a reta gerada por \vec{n}=(1,-2,3,1). Projetar em uma reta é muito mais simples do que projetar diretamente no hiperplano, por isso seguimos esse caminho.

Passo 3

Fórmula da projeção de \vec{v} na reta \operatorname{span}\{\vec{n}\}: se \vec{n}\neq\vec{0}, então
P_{\operatorname{span}\{\vec{n}\}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Explicação rápida da fórmula: escrever t\vec{n} como candidato a projeção e exigir que \vec{v}-t\vec{n} seja ortogonal a \vec{n} (ou seja, (\vec{v}-t\vec{n})\cdot\vec{n}=0) leva a t=(\vec{v}\cdot\vec{n})/(\vec{n}\cdot\vec{n}).
Aqui \vec{n}=(1,-2,3,1). Vamos calcular os produtos internos necessários.

Passo 4

Calcular \vec{v}\cdot\vec{n}:
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-20)\cdot 1 + 3\cdot(-2) + 5\cdot 3 + (-4)\cdot 1.
Fazendo as contas passo a passo:
(-20)\cdot 1 = -20, \qquad 3\cdot(-2)=-6, \qquad 5\cdot 3=15, \qquad (-4)\cdot 1=-4.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=-20-6+15-4=-15.
Calcular \vec{n}\cdot\vec{n}:
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+(-2)^2+3^2+1^2=1+4+9+1=15.

Passo 5

O coeficiente escalar da projeção é
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{-15}{15}=-1.
Portanto a projeção de \vec{v} em H^{\perp} é
P_{H^{\perp}}\vec{v}=-1\cdot\vec{n}=(-1,2,-3,-1).

Passo 6

Agora obtemos a projeção em H subtraindo essa componente perpendicular:
\vec{w}=P_{H}\vec{v}=\vec{v}-P_{H^{\perp}}\vec{v}=(-20,3,5,-4)-(-1,2,-3,-1).
Fazendo a subtração componente a componente:
\vec{w}=(-20+1,\;3-2,\;5+3,\;-4+1)=(-19,1,8,-3).
Assim a 3ª entrada é w_{3}=8.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: a decomposição ficou \vec{v}=\vec{w}+P_{H^{\perp}}\vec{v} com \vec{w}\in H e P_{H^{\perp}}\vec{v} paralelo a \vec{n}; isso confirma que \vec{w} é a projeção ortogonal em H.

Resposta

(H) 8

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