Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O enunciado dá:
- O vetor
. - O subespaço
.
O que é pedido:
- Calcular
, a projeção ortogonal de sobre . - Em particular, identificar o valor de
, a 3ª entrada de .
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A equação
fornece um vetor normal ao hiperplano , que é .
Passo 2
Ideia e razão para projetar em
: qualquer vetor
em
se decompõe unicamente como
onde
e
. A projeção de
em
é precisamente
. Logo
Como
é um hiperplano,
é a reta gerada por
. Projetar em uma reta é muito mais simples do que projetar diretamente no hiperplano, por isso seguimos esse caminho.
Passo 3
Fórmula da projeção de
na reta
: se
, então
Explicação rápida da fórmula: escrever
como candidato a projeção e exigir que
seja ortogonal a
(ou seja,
) leva a
.
Aqui
. Vamos calcular os produtos internos necessários.
Passo 4
Calcular
:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Calcular
:
Passo 5
O coeficiente escalar da projeção é
Portanto a projeção de
em
é
Passo 6
Agora obtemos a projeção em
subtraindo essa componente perpendicular:
Fazendo a subtração componente a componente:
Assim a 3ª entrada é
.
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida: a decomposição ficou
com
e
paralelo a
; isso confirma que
é a projeção ortogonal em
.
Resposta
(H)