O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^{4} e pede que se identifique em qual intervalo o ângulo \theta entre eles se encontra. As informações fornecidas são:
Vetor \mathbf{u} = (-3,-4,1,2).
Vetor \mathbf{v} = (3,-2,-1,5).
Deve-se escolher entre as alternativas (A) a (H), que cobrem intervalos possíveis para \theta.
O objetivo é calcular o ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} (ou, mais prático, calcular \cos\theta e comparar com valores conhecidos) e então escolher a alternativa correta.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicada passo a passo):
Produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^{n}: para \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n}u_i v_i.
Isto é, multiplicar componente a componente e somar. Aqui u_i e v_i são as componentes dos vetores.
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Na reta [0,\pi] a função \cos é decrescente, então comparações de \cos\theta com números correspondem a comparações de \theta com ângulos conhecidos.
Passo 3
Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} aplicando a fórmula componente a componente:
Como a função \cos é estritamente decrescente em [0,\pi], a desigualdade \cos\theta<\tfrac{1}{2} implica \theta>\tfrac{\pi}{3}, e a desigualdade \cos\theta>0 implica \theta<\tfrac{\pi}{2}. Portanto
\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{2}.
Isso corresponde à alternativa que afirma \tfrac{\pi}{3}<\theta\leqslant\tfrac{\pi}{2} (a diferença entre < e \leqslant na borda superior não altera a escolha, porque \theta não é exatamente \tfrac{\pi}{2}).
Passo 7
Conclusão: o ângulo \theta entre os vetores está estritamente entre \tfrac{\pi}{3} e \tfrac{\pi}{2}, então a alternativa correta é a (D).