Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores ( -3,-4,1,2 ) e (3,-2,-1,5) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^{4} e pede que se identifique em qual intervalo o ângulo \theta entre eles se encontra. As informações fornecidas são:
  • Vetor \mathbf{u} = (-3,-4,1,2).
  • Vetor \mathbf{v} = (3,-2,-1,5).
  • Deve-se escolher entre as alternativas (A) a (H), que cobrem intervalos possíveis para \theta.
O objetivo é calcular o ângulo \theta entre \mathbf{u} e \mathbf{v} (ou, mais prático, calcular \cos\theta e comparar com valores conhecidos) e então escolher a alternativa correta.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicada passo a passo):
  • Produto escalar (dot product) em \mathbb{R}^{n}: para \mathbf{u}=(u_1,\dots,u_n) e \mathbf{v}=(v_1,\dots,v_n),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n}u_i v_i.
Isto é, multiplicar componente a componente e somar. Aqui u_i e v_i são as componentes dos vetores.
  • Norma (comprimento) de um vetor \mathbf{u}:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}u_i^2}.
Significa somar os quadrados das componentes e tirar raiz quadrada.
  • Relação entre produto escalar e ângulo: para vetores não nulos,
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|},
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{u} e \mathbf{v}. Na reta [0,\pi] a função \cos é decrescente, então comparações de \cos\theta com números correspondem a comparações de \theta com ângulos conhecidos.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} aplicando a fórmula componente a componente:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(-3)\cdot 3 + (-4)\cdot(-2) + 1\cdot(-1) + 2\cdot 5.
Façando as multiplicações uma a uma:
(-3)\cdot 3 = -9,\qquad (-4)\cdot(-2)=8,\qquad 1\cdot(-1)=-1,\qquad 2\cdot 5=10.
Somando:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = -9 + 8 - 1 + 10.
Agora somando passo a passo:
-9 + 8 = -1,\qquad -1 - 1 = -2,\qquad -2 + 10 = 8.
Logo
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=8.

Passo 4

Calcular as normas \|\mathbf{u}\| e \|\mathbf{v}\|.
Para \mathbf{u}=(-3,-4,1,2):
\|\mathbf{u}\|^2 = (-3)^2 + (-4)^2 + 1^2 + 2^2 = 9 + 16 + 1 + 4 = 30,
portanto
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{30}.
Para \mathbf{v}=(3,-2,-1,5):
\|\mathbf{v}\|^2 = 3^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 5^2 = 9 + 4 + 1 + 25 = 39,
portanto
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{39}.

Passo 5

Aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\;\|\mathbf{v}\|} = \frac{8}{\sqrt{30}\,\sqrt{39}} = \frac{8}{\sqrt{1170}}.
Podemos simplificar \sqrt{1170} notando que 1170=9\cdot130, então
\cos\theta = \frac{8}{3\sqrt{130}}.
Para ter uma ideia numérica (útil para comparar com cossenos de ângulos famosos), aproximamos \sqrt{130}\approx 11{,}4018, logo
3\sqrt{130}\approx 34{,}2054,\qquad \cos\theta \approx \frac{8}{34{,}2054}\approx 0{,}2339.

Passo 6

Comparar \cos\theta com cossenos de ângulos conhecidos para deduzir o intervalo de \theta sem precisar calcular \operatorname{arccos} exatamente.
  • \cos\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}=0{,}5.
  • \cos\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0.
Observamos que
0 < 0{,}2339\approx\cos\theta < 0{,}5.
Como a função \cos é estritamente decrescente em [0,\pi], a desigualdade \cos\theta<\tfrac{1}{2} implica \theta>\tfrac{\pi}{3}, e a desigualdade \cos\theta>0 implica \theta<\tfrac{\pi}{2}. Portanto
\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{\pi}{2}.
Isso corresponde à alternativa que afirma \tfrac{\pi}{3}<\theta\leqslant\tfrac{\pi}{2} (a diferença entre < e \leqslant na borda superior não altera a escolha, porque \theta não é exatamente \tfrac{\pi}{2}).

Passo 7

Conclusão: o ângulo \theta entre os vetores está estritamente entre \tfrac{\pi}{3} e \tfrac{\pi}{2}, então a alternativa correta é a (D).

Resposta

(D)

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