Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
5
46.6
-2
-4
-9.9
-1
2
15.6
0
5
29.3
1
-5
-19.4
2
1
16.5
3
-2
11.9
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 209.8
(B) 210.8
(C) 211.8
(D) 212.8
(E) 213.8
(F) 214.8
(G) 215.8
(H) 216.8
Passo 1
O enunciado pede que, a partir das 7 medições fornecidas, se ajuste por mínimos quadrados os parâmetros a, b e c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c,
e que se calcule o valor previsto de Z para (x,y)=(9,9). Os dados fornecidos (extraídos da tabela do enunciado) são os sete pontos:
Ajustar a,b,c por mínimos quadrados usando os 7 dados;
Calcular Z(9,9)=a\cdot 9^{2}+b\cdot 9 + c;
Escolher a opção de múltipla escolha mais próxima do valor calculado.
Passo 2
Breve explicação do método (passo-a-passo didático).
Vamos tratar o problema como um ajuste linear em parâmetros: a função é linear em a,b,c porque x^{2}, y e 1 são as funções conhecidas das variáveis. Escrevemos em forma matricial
onde \boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix}, \mathbf{Z} é o vetor das medições de Z, X é a matriz de desenho (design matrix) com colunas x^{2}, y e 1, e \boldsymbol{\varepsilon} são os resíduos.
A solução de mínimos quadrados (aquela que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos) é dada pelas equações normais
X^{T}X\,\boldsymbol{\beta} = X^{T}\mathbf{Z}.
Vamos construir X, calcular X^{T}X e X^{T}\mathbf{Z}, e resolver esse sistema para obter \boldsymbol{\beta}=(a,b,c)^{T}.
Passo 3
Construção explícita da matriz X e do vetor \mathbf{Z}.
Para cada linha i usamos a tupla (x_i,y_i,Z_i) e colocamos na matriz X a linha [x_i^{2}\;\; y_i\;\; 1].
Primeiro calculemos x^{2} para cada ponto (peguei estes x e y e Z da tabela):
Cálculo de X^{T}X e X^{T}\mathbf{Z} através das somas necessárias (mostrando cada soma).
Precisamos das somas de colunas e produtos de colunas. Vou listar e calcular cada soma explicitamente (usei os números da tabela acima).
Soma simples:
n=7,\qquad \sum x^{2} = 9+4+1+0+1+4+9 = 28,\qquad \sum y = 2,\qquad \sum Z = 90{,}6.
Somas de produtos entre colunas (usadas em X^{T}X):
a \approx \frac{388{,}15345}{196} \approx 1{,}9803745.
Portanto, os parâmetros ajustados (aproximações numéricas) são
a \approx 1{,}9803745,\qquad b \approx 5{,}0879875,\qquad c \approx 3{,}567525.]
Passo 7
Verificação rápida (sanity check): substituir esses valores nas equações normais deve dar resultados próximos dos RHS originais. Por exemplo, na segunda equação normal: