Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 5 46.6
-2 -4 -9.9
-1 2 15.6
0 5 29.3
1 -5 -19.4
2 1 16.5
3 -2 11.9
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 209.8
(B) 210.8
(C) 211.8
(D) 212.8
(E) 213.8
(F) 214.8
(G) 215.8
(H) 216.8

Passo 1

O enunciado pede que, a partir das 7 medições fornecidas, se ajuste por mínimos quadrados os parâmetros a, b e c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c,
e que se calcule o valor previsto de Z para (x,y)=(9,9). Os dados fornecidos (extraídos da tabela do enunciado) são os sete pontos:
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & 5 & 46{,}6\\\\ -2 & -4 & -9{,}9\\\\ -1 & 2 & 15{,}6\\\\ 0 & 5 & 29{,}3\\\\ 1 & -5 & -19{,}4\\\\ 2 & 1 & 16{,}5\\\\ 3 & -2 & 11{,}9 \end{array}
O que se pede, portanto:
  • Ajustar a,b,c por mínimos quadrados usando os 7 dados;
  • Calcular Z(9,9)=a\cdot 9^{2}+b\cdot 9 + c;
  • Escolher a opção de múltipla escolha mais próxima do valor calculado.

Passo 2

Breve explicação do método (passo-a-passo didático).
  • Vamos tratar o problema como um ajuste linear em parâmetros: a função é linear em a,b,c porque x^{2}, y e 1 são as funções conhecidas das variáveis. Escrevemos em forma matricial
\mathbf{Z} = X\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon},
onde \boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix}, \mathbf{Z} é o vetor das medições de Z, X é a matriz de desenho (design matrix) com colunas x^{2}, y e 1, e \boldsymbol{\varepsilon} são os resíduos.
  • A solução de mínimos quadrados (aquela que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos) é dada pelas equações normais
X^{T}X\,\boldsymbol{\beta} = X^{T}\mathbf{Z}.
  • Vamos construir X, calcular X^{T}X e X^{T}\mathbf{Z}, e resolver esse sistema para obter \boldsymbol{\beta}=(a,b,c)^{T}.

Passo 3

Construção explícita da matriz X e do vetor \mathbf{Z}.
  • Para cada linha i usamos a tupla (x_i,y_i,Z_i) e colocamos na matriz X a linha [x_i^{2}\;\; y_i\;\; 1].
  • Primeiro calculemos x^{2} para cada ponto (peguei estes x e y e Z da tabela):
\begin{array}{r|r|r|r} x & x^{2} & y & Z\\hline -3 & 9 & 5 & 46{,}6\\\\ -2 & 4 & -4 & -9{,}9\\\\ -1 & 1 & 2 & 15{,}6\\\\ 0 & 0 & 5 & 29{,}3\\\\ 1 & 1 & -5 & -19{,}4\\\\ 2 & 4 & 1 & 16{,}5\\\\ 3 & 9 & -2 & 11{,}9 \end{array}
  • Assim X (7×3) e \mathbf{Z} (7×1) são:
X=\begin{pmatrix} 9 & 5 & 1\\\\ 4 & -4 & 1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 5 & 1\\\\ 1 & -5 & 1\\\\ 4 & 1 & 1\\\\ 9 & -2 & 1 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{Z}=\begin{pmatrix}46{,}6\\\ -9{,}9\\\ 15{,}6\\\ 29{,}3\\\ -19{,}4\\\ 16{,}5\\\ 11{,}9\end{pmatrix}.

Passo 4

Cálculo de X^{T}X e X^{T}\mathbf{Z} através das somas necessárias (mostrando cada soma).
Precisamos das somas de colunas e produtos de colunas. Vou listar e calcular cada soma explicitamente (usei os números da tabela acima).
  • Soma simples:
n=7,\qquad \sum x^{2} = 9+4+1+0+1+4+9 = 28,\qquad \sum y = 2,\qquad \sum Z = 90{,}6.
  • Somas de produtos entre colunas (usadas em X^{T}X):
\sum (x^{2})^{2} = 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} = 81+16+1+0+1+16+81 = 196.
\sum x^{2}y = 9\cdot5 + 4\cdot(-4) + 1\cdot2 + 0\cdot5 + 1\cdot(-5) + 4\cdot1 + 9\cdot(-2) = 45-16+2+0-5+4-18 = 12.
\sum y^{2} = 5^{2}+(-4)^{2}+2^{2}+5^{2}+(-5)^{2}+1^{2}+(-2)^{2} = 25+16+4+25+25+1+4 = 100.
  • Elementos de X^{T}\mathbf{Z} (produtos coluna × Z):
\sum x^{2}Z = 9\cdot46{,}6 + 4\cdot(-9{,}9) + 1\cdot15{,}6 + 0\cdot29{,}3 + 1\cdot(-19{,}4) + 4\cdot16{,}5 + 9\cdot11{,}9 = 549{,}1.
\sum yZ = 5\cdot46{,}6 + (-4)\cdot(-9{,}9) + 2\cdot15{,}6 + 5\cdot29{,}3 + (-5)\cdot(-19{,}4) + 1\cdot16{,}5 + (-2)\cdot11{,}9 = 540{,}0.
  • Usando as somas, escrevemos
X^{T}X = \begin{pmatrix} \sum (x^{2})^{2} & \sum x^{2}y & \sum x^{2}\\[4pt] \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y\\[4pt] \sum x^{2} & \sum y & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & 12 & 28\\[4pt] 12 & 100 & 2\\[4pt] 28 & 2 & 7 \end{pmatrix},
X^{T}\mathbf{Z} = \begin{pmatrix}\sum x^{2}Z\\[4pt]\sum yZ\\[4pt]\sum Z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}549{,}1\\[4pt]540{,}0\\[4pt]90{,}6\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrever as equações normais explicitamente:
\begin{pmatrix} 196 & 12 & 28\\[4pt] 12 & 100 & 2\\[4pt] 28 & 2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}549{,}1\\[4pt]540{,}0\\[4pt]90{,}6\end{pmatrix}.
Isto é o sistema linear de três equações:
\begin{cases} 196a + 12b + 28c = 549{,}1,\\[4pt] 12a + 100b + 2c = 540{,}0,\\[4pt] 28a + 2b + 7c = 90{,}6. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema pelo método de eliminação (mostrando as contas).
  • Tomamos a primeira equação como pivô. Eliminamos [a) das equações 2 e 3.
Fazendo \text{Eq2} := \text{Eq2} - \dfrac{12}{196}\,\text{Eq1} e \text{Eq3} := \text{Eq3} - \dfrac{28}{196}\,\text{Eq1} obtemos (mostrando os valores):
Para Eq2:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }b &: 100 - \frac{12}{196}\cdot 12 = 100 - \frac{144}{196} = \frac{4864}{49}\approx 99{,}265306\ldots,\\\ \text{coeficiente de }c &: 2 - \frac{12}{196}\cdot 28 = 2 - \frac{336}{196} = \frac{2}{7}\approx 0{,}285714\ldots,\\\ \text{termo direito} &: 540{,}0 - \frac{12}{196}\cdot 549{,}1 = 506{,}3775510204\ldots \end{aligned}
Para Eq3:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }b &: 2 - \frac{28}{196}\cdot 12 = 2 - \frac{12}{7} = \frac{2}{7}\approx 0{,}285714\ldots,\\\ \text{coeficiente de }c &: 7 - \frac{28}{196}\cdot 28 = 7 - 4 = 3,\\\ \text{termo direito} &: 90{,}6 - \frac{28}{196}\cdot 549{,}1 = 12{,}15714285714286. \end{aligned}
  • Para simplificar manipulamos essas duas equações escalando para remover denominadores:
    • Multiplicando a segunda linha (a nova Eq2) por 49 4864\,b + 14\,c = 24812{,}5.(o RHS calculei: 506{,}3775510204\times 49 = 24812{,}5)
    • Multiplicando a nova Eq3 por 7 2\,b + 21\,c = 85{,}1.
Agora resolvemos o sistema de duas equações:
\begin{cases} 4864\,b + 14\,c = 24812{,}5,\\[4pt] 2\,b + 21\,c = 85{,}1. \end{cases}
  • Da segunda: (b = 42{,}55 - 10{,}5,c].
  • Substituindo na primeira:
4864(42{,}55 - 10{,}5c) + 14c = 24812{,}5.
Calculando os termos:
4864\cdot 42{,}55 = 206963{,}2,\qquad 4864\cdot 10{,}5 = 51072,
então
206963{,}2 - 51072\,c + 14c = 24812{,}5.
206963{,}2 - 51058\,c = 24812{,}5.
-51058\,c = 24812{,}5 - 206963{,}2 = -182150{,}7.
c = \frac{182150{,}7}{51058} \approx 3{,}567525\\ (\text{aprox.}).
  • Substituindo c em b = 42{,}55 - 10{,}5c:
b \approx 42{,}55 - 10{,}5\cdot 3{,}567525 \approx 42{,}55 - 37{,}4620125 \approx 5{,}0879875.
  • Finalmente, a vem da primeira equação:
196a = 549{,}1 - 12b - 28c.
Calculando com os valores obtidos:
12b \approx 12\cdot 5{,}0879875 = 61{,}05585,\qquad 28c \approx 28\cdot 3{,}567525 = 99{,}8907,
196a \approx 549{,}1 - 61{,}05585 - 99{,}8907 = 388{,}15345,
a \approx \frac{388{,}15345}{196} \approx 1{,}9803745.
Portanto, os parâmetros ajustados (aproximações numéricas) são
a \approx 1{,}9803745,\qquad b \approx 5{,}0879875,\qquad c \approx 3{,}567525.]

Passo 7

Verificação rápida (sanity check): substituir esses valores nas equações normais deve dar resultados próximos dos RHS originais. Por exemplo, na segunda equação normal:
12a + 100b + 2c \approx 12\cdot 1{,}9803745 + 100\cdot 5{,}0879875 + 2\cdot 3{,}567525 \approx 539{,}70\\ (\text{próximo de }540{,}0),ó
o que é coerente dado arredondamentos intermediários. Portanto os coeficientes estão consistentes.

Passo 8

Calcular Z previsto para (x,y)=(9,9).
  • Primeiro calcule x^{2}=9^{2}=81.
  • Use a fórmula ajustada \hat{Z}(x,y)=a x^{2} + b y + c.
\hat{Z}(9,9) = a\cdot 81 + b\cdot 9 + c.
Substituindo os coeficientes (aproximados):
a\cdot 81 \approx 1{,}9803745 \cdot 81 \approx 160{,}4103345,
b\cdot 9 \approx 5{,}0879875 \cdot 9 \approx 45{,}7918875,
\hat{Z}(9,9) \approx 160{,}4103345 + 45{,}7918875 + 3{,}567525 \approx 209{,}769747.
Arredondando para uma casa decimal (como nas alternativas): \hat{Z}(9,9)\approx 209{,}8.

Passo 9

Comparação com as alternativas: o valor calculado \approx 209{,}77 corresponde à alternativa (A) 209{,}8.

Resposta

(A) 209.8

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