Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O enunciado dá:
-
. -
.
O que pede: calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e informar a terceira entrada
de
.
Informação útil retirada do enunciado: o hiperplano
é dado por uma equação linear com vetor normal
ou seja,
(os vetores ortogonais a
).
Passo 2
Ideia e fórmula que vamos usar (a dica do enunciado): é mais fácil projetar
em
(o espaço gerado por
) e subtrair essa projeção de
. Explicando com calma:
- A projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por (que é ) é dada por
onde
é o produto escalar usual em
.
- A projeção de
sobre é então
porque
é a componente de
perpendicular a
.
Vou explicar o produto escalar: para
e
,
Passo 3
Calcular
e
passo a passo:
-
Primeiro,
(peguei isso da equação do hiperplano). -
Calcular
:
- Calcular
:
Passo 4
Calcular a projeção de
em
:
Portanto
Passo 5
Agora subtraímos essa componente perpendicular de
para obter a projeção em
:
Fazendo a subtração coordenada a coordenada:
Como verificação rápida (só pra confiar no resultado):
deve satisfazer a equação do hiperplano; calculando
logo
, perfeito.
Passo 6
A terceira entrada de
é a coordenada
que encontramos:
Força aí — deu tudo certo: projetar em
foi realmente mais curto porque reduz o problema a um produto escalar e uma multiplicação por escalar.
Resposta
(A) 1