Q12: Sejam \vec{v}=(8,-3,5,3) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-3 y+2 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O enunciado dá:
  • \vec{v}=(8,-3,5,3).
  • H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-3y+2z+w=0\}.
O que pede: calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e informar a terceira entrada w_{3} de \vec{w}.
Informação útil retirada do enunciado: o hiperplano H é dado por uma equação linear com vetor normal
\vec{n}=(1,-3,2,1),
ou seja, H=\vec{n}^{\perp} (os vetores ortogonais a \vec{n}).

Passo 2

Ideia e fórmula que vamos usar (a dica do enunciado): é mais fácil projetar \vec{v} em H^{\perp} (o espaço gerado por \vec{n}) e subtrair essa projeção de \vec{v}. Explicando com calma:
  • A projeção ortogonal de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n} (que é H^{\perp}) é dada por
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\langle\vec{n},\vec{n}\rangle}\,\vec{n},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto escalar usual em \mathbb{R}^4.
  • A projeção de \vec{v} sobre H é então
P_H\vec{v}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v},
porque \operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} é a componente de \vec{v} perpendicular a H.
Vou explicar o produto escalar: para \vec{a}=(a_1,a_2,a_3,a_4) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3,b_4),
\langle\vec{a},\vec{b}\rangle=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4.

Passo 3

Calcular \langle\vec{v},\vec{n}\rangle e \langle\vec{n},\vec{n}\rangle passo a passo:
  • Primeiro, \vec{n}=(1,-3,2,1) (peguei isso da equação do hiperplano).
  • Calcular \langle\vec{v},\vec{n}\rangle:
\langle\vec{v},\vec{n}\rangle =8\cdot 1 + (-3)\cdot(-3) + 5\cdot 2 + 3\cdot 1 =8 + 9 + 10 + 3 = 30.
  • Calcular \langle\vec{n},\vec{n}\rangle:
\langle\vec{n},\vec{n}\rangle =1^2+(-3)^2+2^2+1^2 =1+9+4+1=15.

Passo 4

Calcular a projeção de \vec{v} em H^{\perp}:
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} =\frac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\langle\vec{n},\vec{n}\rangle}\,\vec{n} =\frac{30}{15}\,\vec{n}=2\,\vec{n}.
Portanto
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=2\cdot(1,-3,2,1)=(2,-6,4,2).

Passo 5

Agora subtraímos essa componente perpendicular de \vec{v} para obter a projeção em H:
\vec{w}=P_H\vec{v}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} =(8,-3,5,3)-(2,-6,4,2).
Fazendo a subtração coordenada a coordenada:
\vec{w}=(8-2,\;-3-(-6),\;5-4,\;3-2)=(6,3,1,1).
Como verificação rápida (só pra confiar no resultado): \vec{w} deve satisfazer a equação do hiperplano; calculando
6-3\cdot 3+2\cdot 1+1=6-9+2+1=0,
logo \vec{w}\in H, perfeito.

Passo 6

A terceira entrada de \vec{w} é a coordenada z que encontramos:
w_{3}=1.
Força aí — deu tudo certo: projetar em H^{\perp} foi realmente mais curto porque reduz o problema a um produto escalar e uma multiplicação por escalar.

Resposta

(A) 1

Exercícios relacionados