Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=6 x^{2}-9 x-3 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que a melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -9 x-3
(B) -3 x-3
(C) -9 x-4
(D) -6 x-4
(E) -6 x-3
(F) -3 x-4

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O espaço vetorial é \mathcal{P}_{2}, polinômios reais de grau \le 2.
  • Está definido o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
  • O polinômio a ser projetado é p(x)=6x^{2}-9x-3.
  • A pergunta: encontrar a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1}, ou seja, o polinômio de grau \le 1 que é a projeção de p.

Passo 2

Conceito essencial (explicado devagar como combinado):
  • A projeção ortogonal de um vetor p sobre um subespaço W é o único vetor r\in W tal que o erro p-r é ortogonal a todo vetor de W.
  • Aqui os “vetores” são polinômios e a ortogonalidade é dada pelo produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle.
  • Para o subespaço \mathcal{P}_{1} podemos escolher a base \{1,x\}. Então a condição de projeção é:
\langle p-r,1\rangle=0\quad\text{e}\quad\langle p-r,x\rangle=0,
pois isso garante \langle p-r,q\rangle=0 para todo q\in\mathcal{P}_{1}.

Passo 3

Vamos parametrizar a projeção procurada por
r(x)=a x + b,
onde a e b são números reais desconhecidos. Imporemos as duas condições de ortogonalidade:
\langle p-r,1\rangle=0,\qquad \langle p-r,x\rangle=0.

Passo 4

Calcular a primeira condição \langle p-r,1\rangle=0.
Escrevendo o integrando:
p(x)-r(x)=6x^{2}-9x-3 - (a x + b)=6x^{2}-(9+a)x-(3+b).
Então
\langle p-r,1\rangle=\int_{0}^{1}\bigl(6x^{2}-(9+a)x-(3+b)\bigr)\,dx=0.
Calculando cada integral separadamente:
\int_{0}^{1}6x^{2}\,dx=6\cdot\frac{1}{3}=2,
\int_{0}^{1}-(9+a)x\,dx=-(9+a)\cdot\frac{1}{2}=-\frac{9+a}{2},
\int_{0}^{1}-(3+b)\,dx=-(3+b).
Somando:
2-\frac{9+a}{2}-(3+b)=0.

Passo 5

Resolver a equação obtida no Passo 4. Simplificando:
2-\frac{9+a}{2}-(3+b)=0.
Colocar tudo sobre \,2 ou simplificar passo a passo:
2-(3)-\frac{9+a}{2}-b=0 \quad\Rightarrow\quad -1-\frac{9+a}{2}-b=0.
Melhor multiplicar por 2 para evitar frações:
4-(9+a)-2(3+b)=0 \quad\Rightarrow\quad 4-9-a-6-2b=0.
Assim:
-11-a-2b=0 \quad\Rightarrow\quad a+2b=-11.
Essa é a primeira equação linear para a,b.

Passo 6

Calcular a segunda condição \langle p-r,x\rangle=0.
O integrando já foi escrito antes; multiplicando por x dá:
(p-r)(x)\,x = \bigl(6x^{2}-(9+a)x-(3+b)\bigr)x=6x^{3}-(9+a)x^{2}-(3+b)x.
Então
\langle p-r,x\rangle=\int_{0}^{1}\bigl(6x^{3}-(9+a)x^{2}-(3+b)x\bigr)\,dx=0.
Calcule cada integral:
\int_{0}^{1}6x^{3}\,dx=6\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{2},
\int_{0}^{1}-(9+a)x^{2}\,dx=-(9+a)\cdot\frac{1}{3}=-\frac{9+a}{3},
\int_{0}^{1}-(3+b)x\,dx=-(3+b)\cdot\frac{1}{2}=-\frac{3+b}{2}.
Somando:
\frac{3}{2}-\frac{9+a}{3}-\frac{3+b}{2}=0.

Passo 7

Resolver a equação do Passo 6. Juntar termos com denominador comum 6:
\frac{9}{6}-\frac{2(9+a)}{6}-\frac{3(3+b)}{6}=0.
Numerador:
9-2(9+a)-3(3+b)=0 \quad\Rightarrow\quad 9-18-2a-9-3b=0.
Simplificando:
-18-2a-3b=0 \quad\Rightarrow\quad 2a+3b=-18.
Essa é a segunda equação linear.

Passo 8

Temos o sistema linear:
\begin{cases} a+2b=-11,\\[4pt] 2a+3b=-18. \end{cases}
Resolve-se por eliminação. Multiplicar a primeira equação por 2:
2a+4b=-22.
Subtrair a segunda equação:
(2a+4b)-(2a+3b)=-22-(-18)\quad\Rightarrow\quad b=-4.
Substituir b=-4 na primeira equação:
a+2(-4)=-11\quad\Rightarrow\quad a-8=-11\quad\Rightarrow\quad a=-3.]

Passo 9

Concluímos que os coeficientes da projeção são a=-3 e b=-4. Portanto a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} é
r(x)=-3x-4.
Para conferir (checagem rápida): calcula-se \langle p-r,1\rangle e \langle p-r,x\rangle usando esses a,b e obtém-se zero em ambos, confirmando a ortogonalidade.

Resposta

-3 x -4

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