Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
sobre
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e de
, para diversos valores de
e
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um polinômio da forma
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação seria outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O espaço vetorial é
, polinômios reais de grau . - Está definido o produto interno
- O polinômio a ser projetado é
. - A pergunta: encontrar a projeção ortogonal de
sobre , ou seja, o polinômio de grau que é a projeção de .
Passo 2
Conceito essencial (explicado devagar como combinado):
- A projeção ortogonal de um vetor
sobre um subespaço é o único vetor tal que o erro é ortogonal a todo vetor de . - Aqui os “vetores” são polinômios e a ortogonalidade é dada pelo produto interno
. - Para o subespaço
podemos escolher a base . Então a condição de projeção é:
pois isso garante
para todo
.
Passo 3
Vamos parametrizar a projeção procurada por
onde
e
são números reais desconhecidos. Imporemos as duas condições de ortogonalidade:
Passo 4
Calcular a primeira condição
.
Escrevendo o integrando:
Escrevendo o integrando:
Então
Calculando cada integral separadamente:
Somando:
Passo 5
Resolver a equação obtida no Passo 4. Simplificando:
Colocar tudo sobre
ou simplificar passo a passo:
Melhor multiplicar por
para evitar frações:
Assim:
Essa é a primeira equação linear para
.
Passo 6
Calcular a segunda condição
.
O integrando já foi escrito antes; multiplicando por dá:
O integrando já foi escrito antes; multiplicando por
Então
Calcule cada integral:
Somando:
Passo 7
Resolver a equação do Passo 6. Juntar termos com denominador comum
:
Numerador:
Simplificando:
Essa é a segunda equação linear.
Passo 8
Temos o sistema linear:
Resolve-se por eliminação. Multiplicar a primeira equação por
:
Subtrair a segunda equação:
Substituir
na primeira equação:
Passo 9
Concluímos que os coeficientes da projeção são
e
. Portanto a projeção ortogonal de
sobre
é
Para conferir (checagem rápida): calcula-se
e
usando esses
e obtém-se zero em ambos, confirmando a ortogonalidade.