Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(-1,0,2,0),(1,-2,0,0),(-1,-4,6,0)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(4,2,2,4),(-2,-2,3,2)\}
(B) \{(4,2,2,4)\}
(C) \{(2,1,1,-4)\}
(D) \{(3,3,2,-3),(-2,-2,3,2)\}
(E) \{(3,3,2,-3)\}
(F) \{(4,2,2,4),(2,1,1,-4)\}
(G) \{(-2,-2,3,2)\}
(H) \{(3,3,2,-3),(2,1,1,-4)\}
Da segunda equação vem -2\beta=-4\Rightarrow \beta=2\].
Da terceira vem \(2\alpha=6\Rightarrow \alpha=3.
Verificando na primeira: -3+2=-1 OK.
Portanto
v_3 = 3v_1 + 2v_2,
ou seja, v_3 é combinação linear de v_1 e v_2. Logo os três vetores não são independentes e
\dim H = 2.]
Passo 3
Como \dim H = 2 em \mathbb{R}^4, vale
\dim H^{\perp} = 4 - \dim H = 2.
Conclusão imediata: qualquer base de H^{\perp} deve ter exatamente 2 vetores. Assim todas as alternativas que dão apenas 1 vetor (B, C, E, G) não podem ser base de H^{\perp}.
Passo 4
Encontrar explicitamente H^{\perp}. Seja x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4. Para x\in H^{\perp} precisamos que x seja ortogonal a v_1 e a v_2 (basta, porque v_3 é combinação deles). Escrevemos os produtos internos:
onde t,s\in\mathbb{R} são parâmetros livres. Assim o vetor geral em H^{\perp} é
x = t(2,1,1,0) + s(0,0,0,1).
Logo uma base conveniente de H^{\perp} é, por exemplo,
\{(2,1,1,0),(0,0,0,1)\}.
Qualquer outro par de vetores que gere o mesmo subespaço e seja linearmente independente também será uma base. Agora vamos comparar com as alternativas.
Passo 5
Verificar quais alternativas com 2 vetores realmente estão em H^{\perp} e são independentes. Vou checar as alternativas com 2 vetores: (A), (D), (F), (H).
Primeiro, teste de ortogonalidade: um vetor w pertence a H^{\perp} se e só se w\cdot v_1=0 e w\cdot v_2=0.
Portanto já falha: (D) não está contida em H^{\perp}.
Alternativa (F): w_1=(4,2,2,4), w_2=(2,1,1,-4).
Já vimos acima que v_1\cdot(4,2,2,4)=0 e v_2\cdot(4,2,2,4)=0, então (4,2,2,4)\in H^{\perp}.
Para w_2=(2,1,1,-4):v_1\cdot w_2 = -1\cdot2 + 2\cdot1 = -2+2=0,
v_2\cdot w_2 = 1\cdot2 + (-2)\cdot1 = 2-2=0,
então \(w_2\in H^{\perp}\) também.
Verificar independência: (4,2,2,4) não é múltiplo escalar de (2,1,1,-4) (porque as razões das componentes não coincidem), logo os dois são linearmente independentes. Portanto (F) fornece dois vetores em H^{\perp} e independentes, ou seja, formam uma base de H^{\perp}.
Alternativa (H): w_1=(3,3,2,-3), w_2=(2,1,1,-4).
Já vimos que v_1\cdot(3,3,2,-3)=1\neq0, logo (3,3,2,-3)\notin H^{\perp}.
Portanto (H) falha.
Como (F) é a única alternativa com dois vetores que estão ambos em H^{\perp} e são independentes, (F) é a resposta correta. (Observação: os vetores da alternativa (F) são combinações lineares dos vetores (2,1,1,0) e (0,0,0,1) que encontramos, por exemplo (4,2,2,4)=2(2,1,1,0)+4(0,0,0,1) e (2,1,1,-4)=(2,1,1,0)-4(0,0,0,1), portanto geram exatamente o mesmo subespaço.)