Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(-1,0,2,0),(1,-2,0,0),(-1,-4,6,0)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(4,2,2,4),(-2,-2,3,2)\}
(B) \{(4,2,2,4)\}
(C) \{(2,1,1,-4)\}
(D) \{(3,3,2,-3),(-2,-2,3,2)\}
(E) \{(3,3,2,-3)\}
(F) \{(4,2,2,4),(2,1,1,-4)\}
(G) \{(-2,-2,3,2)\}
(H) \{(3,3,2,-3),(2,1,1,-4)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço
H=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\}\subset\mathbb{R}^4
com
v_1 = (-1,0,2,0),\qquad v_2=(1,-2,0,0),\qquad v_3=(-1,-4,6,0).
A pergunta é: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?
Informações relevantes dadas:
  • Os geradores de H são v_1,v_2,v_3 (todos em \mathbb{R}^4).
  • Uma base de H^{\perp} deve consistir de vetores que são ortogonais a todos os vetores de H.
  • Se \dim H = r, então \dim H^{\perp}=4-r. Esta dimensão será usada para excluir alternativas que têm número errado de vetores.

Passo 2

Verificar se os vetores geradores de [H) são linearmente independentes (isso determina \dim H).
Procuramos escalares \alpha,\beta tais que
\alpha v_1+\beta v_2 = v_3.
Escrevendo componente a componente (pegando os 3 primeiros componentes, já que a 4ª é zero em todos):
\begin{cases} -\alpha + \beta = -1,\\[4pt] 0\cdot\alpha -2\beta = -4,\\[4pt] 2\alpha + 0\cdot\beta = 6. \end{cases}
Da segunda equação vem -2\beta=-4\Rightarrow \beta=2\]. Da terceira vem \(2\alpha=6\Rightarrow \alpha=3.
Verificando na primeira: -3+2=-1 OK.
Portanto
v_3 = 3v_1 + 2v_2,
ou seja, v_3 é combinação linear de v_1 e v_2. Logo os três vetores não são independentes e
\dim H = 2.]

Passo 3

Como \dim H = 2 em \mathbb{R}^4, vale
\dim H^{\perp} = 4 - \dim H = 2.
Conclusão imediata: qualquer base de H^{\perp} deve ter exatamente 2 vetores. Assim todas as alternativas que dão apenas 1 vetor (B, C, E, G) não podem ser base de H^{\perp}.

Passo 4

Encontrar explicitamente H^{\perp}. Seja x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4. Para x\in H^{\perp} precisamos que x seja ortogonal a v_1 e a v_2 (basta, porque v_3 é combinação deles). Escrevemos os produtos internos:
x\cdot v_1 = -x_1 + 0\cdot x_2 + 2x_3 + 0\cdot x_4 = -x_1 + 2x_3 = 0,
x\cdot v_2 = x_1 -2x_2 + 0\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = x_1 - 2x_2 = 0.
Das equações obtemos
x_1 = 2x_3,\qquad x_1 = 2x_2 \;\Rightarrow\; x_2 = x_3.
As coordenadas ficam então
x_1 = 2t,\quad x_2 = t,\quad x_3 = t,\quad x_4 = s,
onde t,s\in\mathbb{R} são parâmetros livres. Assim o vetor geral em H^{\perp} é
x = t(2,1,1,0) + s(0,0,0,1).
Logo uma base conveniente de H^{\perp} é, por exemplo,
\{(2,1,1,0),(0,0,0,1)\}.
Qualquer outro par de vetores que gere o mesmo subespaço e seja linearmente independente também será uma base. Agora vamos comparar com as alternativas.

Passo 5

Verificar quais alternativas com 2 vetores realmente estão em H^{\perp} e são independentes. Vou checar as alternativas com 2 vetores: (A), (D), (F), (H).
Primeiro, teste de ortogonalidade: um vetor w pertence a H^{\perp} se e só se w\cdot v_1=0 e w\cdot v_2=0.
  • Alternativa (A): w_1=(4,2,2,4), w_2=(-2,-2,3,2).
    • v_1\cdot w_1 = -1\cdot4 + 2\cdot2 = -4+4=0.
    • v_2\cdot w_1 = 1\cdot4 + (-2)\cdot2 = 4-4=0. Assim w_1\in H^{\perp}.
    • v_1\cdot w_2 = -1\cdot(-2) + 2\cdot3 = 2+6=8\neq0. Logo w_2\notin H^{\perp}.
    • Conclusão: (A) falha porque apenas um dos vetores é ortogonal a H.
  • Alternativa (D): w_1=(3,3,2,-3), w_2=(-2,-2,3,2).
    • v_1\cdot (3,3,2,-3) = -1\cdot3 + 2\cdot2 = -3+4=1\neq0.
    • Portanto já falha: (D) não está contida em H^{\perp}.
  • Alternativa (F): w_1=(4,2,2,4), w_2=(2,1,1,-4).
    • Já vimos acima que v_1\cdot(4,2,2,4)=0 e v_2\cdot(4,2,2,4)=0, então (4,2,2,4)\in H^{\perp}.
    • Para w_2=(2,1,1,-4): v_1\cdot w_2 = -1\cdot2 + 2\cdot1 = -2+2=0,
v_2\cdot w_2 = 1\cdot2 + (-2)\cdot1 = 2-2=0,
então \(w_2\in H^{\perp}\) também.
  • Verificar independência: (4,2,2,4) não é múltiplo escalar de (2,1,1,-4) (porque as razões das componentes não coincidem), logo os dois são linearmente independentes. Portanto (F) fornece dois vetores em H^{\perp} e independentes, ou seja, formam uma base de H^{\perp}.
  • Alternativa (H): w_1=(3,3,2,-3), w_2=(2,1,1,-4).
    • Já vimos que v_1\cdot(3,3,2,-3)=1\neq0, logo (3,3,2,-3)\notin H^{\perp}.
    • Portanto (H) falha.
Como (F) é a única alternativa com dois vetores que estão ambos em H^{\perp} e são independentes, (F) é a resposta correta. (Observação: os vetores da alternativa (F) são combinações lineares dos vetores (2,1,1,0) e (0,0,0,1) que encontramos, por exemplo (4,2,2,4)=2(2,1,1,0)+4(0,0,0,1) e (2,1,1,-4)=(2,1,1,0)-4(0,0,0,1), portanto geram exatamente o mesmo subespaço.)

Resposta

(F)

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