Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
. O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e o subespaço
Pede-se a projeção ortogonal
e, em particular, o valor da 3ª entrada de
, isto é
. As opções são
.
Passo 2
Ideia prática (dica do enunciado): é mais fácil projetar
em
e subtrair do vetor original. A razão:
é o ortogonal do vetor normal às equações lineares. Especificamente, a equação
tem vetor normal
logo
. A projeção de
sobre
é
Passo 3
Fórmula da projeção de
sobre um vetor
(não necessariamente unitário):
Explicando:
é o produto interno (somatório dos produtos das entradas correspondentes), e
é o quadrado da norma de
. O quociente é o escalar que multiplica
para obter a componente de
na direção de
.
Passo 4
Calcular o produto interno
. Fazendo termo a termo:
Agora somando:
portanto
Passo 5
Calcular
(soma dos quadrados das entradas de
):
Passo 6
Calcular a projeção de
sobre
:
Logo
Passo 7
Subtrair essa projeção de
para obter a projeção em
:
Fazendo componente a componente:
Portanto
e em particular
.
Resposta
(A)