Q12: Sejam \vec{v}=(-4,7,-5,5) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+2 y-3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H. O valor de w_{3}, a 3{ }^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} \mathrm{em} H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(-4,7,-5,5) e o subespaço
H=\left\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x+2y-3z+w=0\right\}.
Pede-se a projeção ortogonal \vec{w}=P_H\vec{v} e, em particular, o valor da 3ª entrada de \vec{w}, isto é w_3. As opções são (A)\,1,\,(B)\,2,\,\text{(C)}\,3,\,(D)\,4,\,(E)\,5,\,(F)\,6.

Passo 2

Ideia prática (dica do enunciado): é mais fácil projetar \vec{v} em H^\perp e subtrair do vetor original. A razão: H é o ortogonal do vetor normal às equações lineares. Especificamente, a equação x+2y-3z+w=0 tem vetor normal
\vec{n} = (1,2,-3,1),
logo H^\perp=\operatorname{span}\{\vec{n}\}. A projeção de \vec{v} sobre H é
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}.

Passo 3

Fórmula da projeção de \vec{v} sobre um vetor \vec{n} (não necessariamente unitário):
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Explicando: \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto interno (somatório dos produtos das entradas correspondentes), e \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}. O quociente é o escalar que multiplica \vec{n} para obter a componente de \vec{v} na direção de \vec{n}.

Passo 4

Calcular o produto interno \vec{v}\cdot\vec{n}. Fazendo termo a termo:
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-4)\cdot 1 + 7\cdot 2 + (-5)\cdot(-3) + 5\cdot 1.
Agora somando:
(-4)\cdot 1 = -4,\quad 7\cdot 2 = 14,\quad (-5)\cdot(-3)=15,\quad 5\cdot 1 = 5,
portanto
\vec{v}\cdot\vec{n} = -4 + 14 + 15 + 5 = 30.

Passo 5

Calcular \vec{n}\cdot\vec{n} (soma dos quadrados das entradas de \vec{n}):
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+2^2+(-3)^2+1^2 = 1+4+9+1 = 15.

Passo 6

Calcular a projeção de \vec{v} sobre \vec{n}:
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{30}{15}=2.
Logo
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=2\vec{n}=2(1,2,-3,1)=(2,4,-6,2).

Passo 7

Subtrair essa projeção de \vec{v} para obter a projeção em H:
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=(-4,7,-5,5)-(2,4,-6,2).
Fazendo componente a componente:
w_1 = -4-2 = -6,
w_2 = 7-4 = 3,
w_3 = -5-(-6) = -5+6 = 1,
w_4 = 5-2 = 3.
Portanto
\vec{w}=(-6,3,1,3)
e em particular w_3=1.

Resposta

(A) 1

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