Q8: Sejam \left\{\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \vec{x}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LI e \left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{3} um conjunto LD. Suponha A uma matriz 3 \times 3 tal que:
A \vec{x}_{1}=\vec{b}_{1}, \quad A \vec{x}_{2}=\vec{b}_{2} \quad \text { e } \quad A \vec{x}_{3}=\vec{b}_{3} \text { : }
(A) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução para certos valores do vetor \vec{b}, mas quando existe solução ela é única.
(B) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para qualquer \vec{b}.
(C) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} não tem solução única, qualquer que seja \vec{b}.
(D) Pode-se afirmar que não existe tal A.
(E) Pode-se afirmar que A \vec{x}=\vec{b} tem solução para qualquer \vec{b}, mas não se pode garantir unicidade.
(F) Não se pode afirmar se existe ou não tal A.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos qual alternativa é verdadeira:
  • Temos \{\vec{x}_{1},\vec{x}_{2},\vec{x}_{3}\}\subset\mathbb{R}^3 que é um conjunto linearmente independente.
  • Temos \{\vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\}\subset\mathbb{R}^3 que é um conjunto linearmente dependente.
  • Existe uma matriz 3\times3, chamada A, tal que
A\vec{x}_{1}=\vec{b}_{1},\qquad A\vec{x}_{2}=\vec{b}_{2},\qquad A\vec{x}_{3}=\vec{b}_{3}.
  • A questão pede que identifiquemos, entre as alternativas (A) a (F), qual declaração sobre as soluções do sistema A\vec{x}=\vec{b} (para vetores \vec{b} quaisquer) é correta.

Passo 2

Primeira observação útil (importante e simples): três vetores linearly independentes em \mathbb{R}^3 formam uma base de \mathbb{R}^3.
Explicação didática: ser base significa duas coisas que nos interessam aqui:
  • Eles geram todo \mathbb{R}^3: qualquer vetor \vec{v}\in\mathbb{R}^3 pode ser escrito como combinação linear dos \vec{x}_i.
  • Qualquer vetor tem coordenadas únicas nessa base (ou seja, representação única).
Então \{\vec{x}_1,\vec{x}_2,\vec{x}_3\} é uma base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Agora, uso construtivo para mostrar que existe (e é único) um operador linear A com as imagens dadas.
Construa as matrizes coluna
X = \begin{pmatrix} \vline & \vline & \vline \\\ \vec{x}_1 & \vec{x}_2 & \vec{x}_3 \\\ \vline & \vline & \vline \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} \vline & \vline & \vline \\\ \vec{b}_1 & \vec{b}_2 & \vec{b}_3 \\\ \vline & \vline & \vline \end{pmatrix}.
Como \{\vec{x}_i\} é base, a matriz X é invertível ( \det X\neq0). Então podemos definir
A = B X^{-1}.
Verificação rápida: para cada i,
A\vec{x}_i = B X^{-1}\vec{x}_i = B \vec{e}_i = \vec{b}_i,
onde \vec{e}_i é o i-ésimo vetor da base canônica. Portanto tal A existe e é determinado exclusivamente por essa relação.
Comentário amigo: ou seja, não precisamos imaginar coisas complicadas — definir a ação de um operador em uma base fixa determina o operador todo.

Passo 4

Agora vamos analisar as consequências do fato de \{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\} ser linearmente dependente.
Definição útil: a imagem (ou espaço coluna) de A é
\operatorname{Im}(A)=\operatorname{span}\{\vec{b}_1,\vec{b}_2,\vec{b}_3\}.
Como os \vec{b}_i são linearmente dependentes, o subespaço gerado por eles tem dimensão menor que 3; isto é,
\dim(\operatorname{Im}(A))\le 2.
Portanto
\operatorname{rank}(A)=\dim(\operatorname{Im}(A))\le 2<3.

Passo 5

Use agora o Teorema do posto-nulidade (Rank-Nullity) para concluir algo sobre o núcleo de A.
O teorema diz, para uma transformação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^3,
\dim(\ker A) + \operatorname{rank}(A) = 3.
Como \operatorname{rank}(A)\le 2, segue que
\dim(\ker A)=3-\operatorname{rank}(A)\ge 1.
Ou seja, \ker A contém vetores não-nulos: existe \vec{v}\neq\vec{0} tal que A\vec{v}=\vec{0}. Isso implica que A não é injetora e, portanto, não é invertível.
Comentário curto e encorajador: isso nos diz que a transformação “colapsa” alguma direção não-trivial para zero — sempre acontece quando o conjunto imagem é dependente.

Passo 6

Agora relacionamos isso com as soluções do sistema linear A\vec{x}=\vec{b}.
Fato geral (aula prática): para um sistema linear A\vec{x}=\vec{b}
  • Existe solução se, e somente se, \vec{b}\in\operatorname{Im}(A).
  • Se existe pelo menos uma solução \vec{x}_0, então o conjunto de todas as soluções é
\{\vec{x}_0 + \vec{w} \mid \vec{w}\in\ker A\}.
Logo, se \ker A é não-trivial ( \dim(\ker A)\ge1), então sempre que existir solução ela não é única: existem infinitas soluções (pois somamos \vec{x}_0 a qualquer vetor não-nulo do núcleo).

Passo 7

Juntando tudo:
  • Como \operatorname{Im}(A) tem dimensão \le2, há muitos vetores \vec{b}\in\mathbb{R}^3 que não pertencem a \operatorname{Im}(A). Para esses \vec{b} o sistema A\vec{x}=\vec{b} não tem solução.
  • Para os vetores \vec{b} que estiverem em \operatorname{Im}(A), existe solução, mas como \ker A é não-trivial, essa solução não é única — há infinitas soluções.
Portanto, não existe nenhum vetor \vec{b} para o qual o sistema tenha exatamente uma solução: ou não tem solução (se \vec{b}\notin\operatorname{Im}(A)) ou tem infinitas soluções (se \vec{b}\in\operatorname{Im}(A)).

Passo 8

Conclusão clara, com a linguagem das alternativas: podemos afirmar que para qualquer \vec{b}\in\mathbb{R}^3 o sistema A\vec{x}=\vec{b} “não tem solução única” — isto é, não existe nenhum \vec{b} que produza exatamente uma solução. (Alguns \vec{b} não têm solução; os que têm apresentam soluções não únicas.)
Respira fundo: isso descarta (A), (B), (D), (E) e (F). A alternativa que descreve corretamente essa situação é a (C).

Resposta

(C)

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