Q8: Sejam
um conjunto LI e
um conjunto LD. Suponha
uma matriz
tal que:
(A) Pode-se afirmar que
não tem solução para certos valores do vetor
, mas quando existe solução ela é única.
(B) Pode-se afirmar que
tem solução única para qualquer
.
(C) Pode-se afirmar que
não tem solução única, qualquer que seja
.
(D) Pode-se afirmar que não existe tal
.
(E) Pode-se afirmar que
tem solução para qualquer
, mas não se pode garantir unicidade.
(F) Não se pode afirmar se existe ou não tal
.
(B) Pode-se afirmar que
(C) Pode-se afirmar que
(D) Pode-se afirmar que não existe tal
(E) Pode-se afirmar que
(F) Não se pode afirmar se existe ou não tal
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos qual alternativa é verdadeira:
- Temos
que é um conjunto linearmente independente. - Temos
que é um conjunto linearmente dependente. - Existe uma matriz
, chamada , tal que
- A questão pede que identifiquemos, entre as alternativas (A) a (F), qual declaração sobre as soluções do sistema
(para vetores quaisquer) é correta.
Passo 2
Primeira observação útil (importante e simples): três vetores linearly independentes em
formam uma base de
.
Explicação didática: ser base significa duas coisas que nos interessam aqui:
- Eles geram todo
: qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear dos . - Qualquer vetor tem coordenadas únicas nessa base (ou seja, representação única).
Então
é uma base de
.
Passo 3
Agora, uso construtivo para mostrar que existe (e é único) um operador linear
com as imagens dadas.
Construa as matrizes coluna
Como
é base, a matriz
é invertível (
). Então podemos definir
Verificação rápida: para cada
,
onde
é o
-ésimo vetor da base canônica. Portanto tal
existe e é determinado exclusivamente por essa relação.
Comentário amigo: ou seja, não precisamos imaginar coisas complicadas — definir a ação de um operador em uma base fixa determina o operador todo.
Passo 4
Agora vamos analisar as consequências do fato de
ser linearmente dependente.
Definição útil: a imagem (ou espaço coluna) de
é
Como os
são linearmente dependentes, o subespaço gerado por eles tem dimensão menor que
; isto é,
Portanto
Passo 5
Use agora o Teorema do posto-nulidade (Rank-Nullity) para concluir algo sobre o núcleo de
.
O teorema diz, para uma transformação linear de
em
,
Como
, segue que
Ou seja,
contém vetores não-nulos: existe
tal que
. Isso implica que
não é injetora e, portanto, não é invertível.
Comentário curto e encorajador: isso nos diz que a transformação “colapsa” alguma direção não-trivial para zero — sempre acontece quando o conjunto imagem é dependente.
Passo 6
Agora relacionamos isso com as soluções do sistema linear
.
Fato geral (aula prática): para um sistema linear
- Existe solução se, e somente se,
. - Se existe pelo menos uma solução
, então o conjunto de todas as soluções é
Logo, se
é não-trivial (
), então sempre que existir solução ela não é única: existem infinitas soluções (pois somamos
a qualquer vetor não-nulo do núcleo).
Passo 7
Juntando tudo:
- Como
tem dimensão , há muitos vetores que não pertencem a . Para esses o sistema não tem solução. - Para os vetores
que estiverem em , existe solução, mas como é não-trivial, essa solução não é única — há infinitas soluções.
Portanto, não existe nenhum vetor
para o qual o sistema tenha exatamente uma solução: ou não tem solução (se
) ou tem infinitas soluções (se
).
Passo 8
Conclusão clara, com a linguagem das alternativas: podemos afirmar que para qualquer
o sistema
“não tem solução única” — isto é, não existe nenhum
que produza exatamente uma solução. (Alguns
não têm solução; os que têm apresentam soluções não únicas.)
Respira fundo: isso descarta (A), (B), (D), (E) e (F). A alternativa que descreve corretamente essa situação é a (C).
Resposta
(C)