Q10: Seja
o ângulo entre os vetores
e (
) em
. Assinale a alternativa correta:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado pede para determinar em qual intervalo de ângulos
(entre várias opções dadas) está o ângulo entre os dois vetores em
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
- Primeiro vetor
. - Segundo vetor
. - As alternativas são intervalos de
entre e (cada alternativa mostra um intervalo fechado à direita e aberto à esquerda, ou fechado em no caso da primeira).
Não há outras informações ou figuras; tudo necessário está nos vetores.
Passo 2
Fórmula que usamos (conceito fundamental): o cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
em
é dado por
Explicando cada símbolo:
-
é o produto escalar (ou interno) entre e : somamos produtos das componentes correspondentes. -
é a norma (comprimento) de : .
Essa fórmula vem da generalização trigonométrica do produto escalar; ela relaciona o produto escalar com o ângulo entre vetores.
Passo 3
Calcular o produto escalar
. Multiplicamos componente a componente e somamos:
Fazendo as contas:
Passo 4
Calcular a norma de
:
Observação:
, mas manteremos
por enquanto.
Passo 5
Calcular a norma de
:
Passo 6
Colocar tudo na fórmula do cosseno:
Essa é a forma exata de
.
Passo 7
Agora precisamos saber em qual intervalo de ângulo isso coloca
. Uma maneira prática sem calcular
por arccos é comparar
com os cossenos dos limites dos intervalos fornecidos. Dois limites relevantes próximos do resultado são
Passo 8
Calcular uma aproximação numérica de
para comparar:
Portanto
Como o cosseno é estritamente decrescente em
, essa desigualdade em cossenos corresponde à desigualdade em ângulos:
Note que
não é exatamente um dos extremos, então
fica estritamente entre eles; pelas opções, devemos ver qual intervalo fechado à direita contém
.
Passo 9
Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde a
é a alternativa (G). Nosso cálculo mostrou
rad (ou
), que está estritamente entre
e
, portanto pertence à alternativa (G).
Resposta
(G)