Q10: Seja \theta o ângulo entre os vetores (1,0,-1,-5) e ( -3,3,2,5 ) em \mathbb{R}^{4}. Assinale a alternativa correta:
(A) 0 \leqslant \theta \leqslant \pi / 6
(B) \pi / 6<\theta \leqslant \pi / 4
(C) \pi / 4<\theta \leqslant \pi / 3
(D) \pi / 3<\theta \leqslant \pi / 2
(E) \pi / 2<\theta \leqslant 2 \pi / 3
(F) 2 \pi / 3<\theta \leqslant 3 \pi / 4
(G) 3 \pi / 4<\theta \leqslant 5 \pi / 6
(H) 5 \pi / 6<\theta \leqslant \pi

Passo 1

O enunciado pede para determinar em qual intervalo de ângulos \theta (entre várias opções dadas) está o ângulo entre os dois vetores em \mathbb{R}^{4}.
Dados fornecidos:
  • Primeiro vetor u = (1,0,-1,-5).
  • Segundo vetor v = (-3,3,2,5).
  • As alternativas são intervalos de \theta entre 0 e \pi (cada alternativa mostra um intervalo fechado à direita e aberto à esquerda, ou fechado em 0 no caso da primeira).
    Não há outras informações ou figuras; tudo necessário está nos vetores.

Passo 2

Fórmula que usamos (conceito fundamental): o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores u e v em \mathbb{R}^{n} é dado por
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.
Explicando cada símbolo:
  • u\cdot v é o produto escalar (ou interno) entre u e v: somamos produtos das componentes correspondentes.
  • \|u\| é a norma (comprimento) de u: \|u\|=\sqrt{\text{soma dos quadrados das componentes de }u}.
    Essa fórmula vem da generalização trigonométrica do produto escalar; ela relaciona o produto escalar com o ângulo entre vetores.

Passo 3

Calcular o produto escalar u\cdot v. Multiplicamos componente a componente e somamos:
u\cdot v = 1\cdot(-3) + 0\cdot 3 + (-1)\cdot 2 + (-5)\cdot 5.
Fazendo as contas:
u\cdot v = -3 + 0 -2 -25 = -30.

Passo 4

Calcular a norma de u:
\|u\| = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + (-1)^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{1+0+1+25} = \sqrt{27}.
Observação: \sqrt{27}=3\sqrt{3}, mas manteremos \sqrt{27} por enquanto.

Passo 5

Calcular a norma de v:
\|v\| = \sqrt{(-3)^{2} + 3^{2} + 2^{2} + 5^{2}} = \sqrt{9+9+4+25} = \sqrt{47}.

Passo 6

Colocar tudo na fórmula do cosseno:
\cos\theta = \frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|} = \frac{-30}{\sqrt{27}\,\sqrt{47}} = \frac{-30}{\sqrt{27\cdot 47}} = \frac{-30}{\sqrt{1269}}.
Essa é a forma exata de \cos\theta.

Passo 7

Agora precisamos saber em qual intervalo de ângulo isso coloca \theta. Uma maneira prática sem calcular \theta por arccos é comparar \cos\theta com os cossenos dos limites dos intervalos fornecidos. Dois limites relevantes próximos do resultado são
\cos\left(\tfrac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,707106\quad\text{e}\quad \cos\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0,866025.

Passo 8

Calcular uma aproximação numérica de \cos\theta para comparar:
\sqrt{1269}\approx 35{,}63\quad\Rightarrow\quad \cos\theta = \frac{-30}{\sqrt{1269}}\approx \frac{-30}{35{,}63}\approx -0{,}842.
Portanto
-0{,}866025\approx -\frac{\sqrt{3}}{2} < -0{,}842 \approx \cos\theta < -\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0{,}707106.
Como o cosseno é estritamente decrescente em [0,\pi], essa desigualdade em cossenos corresponde à desigualdade em ângulos:
\frac{3\pi}{4} < \theta < \frac{5\pi}{6}.
Note que \cos\theta não é exatamente um dos extremos, então \theta fica estritamente entre eles; pelas opções, devemos ver qual intervalo fechado à direita contém \theta.

Passo 9

Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde a
\frac{3\pi}{4} < \theta \le \frac{5\pi}{6}
é a alternativa (G). Nosso cálculo mostrou \theta\approx 2{,}572 rad (ou \approx 147{,}4^\circ), que está estritamente entre \tfrac{3\pi}{4}\approx 2{,}356 e \tfrac{5\pi}{6}\approx 2{,}618, portanto pertence à alternativa (G).

Resposta

(G)

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