Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
4
-39.1
-2
3
-18.3
-1
-2
8.7
0
1
2.2
1
-3
12.9
2
4
-21.8
3
2
-31.2
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,6). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -288.0
(B) -287.0
(C) -286.0
(D) -285.0
(E) -284.0
(F) -283.0
(G) -282.0
(H) -281.0
Passo 1
O que o problema pede e os dados disponíveis.
Queremos ajustar os parâmetros a,b,c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
de modo a minimizar o erro quadrático entre o modelo e os 7 dados experimentais. Depois, usar o modelo ajustado para prever Z em (x,y)=(9,6).
Objetivo final: escolher, entre as alternativas fornecidas, a melhor aproximação para o valor previsto Z(9,6).
Passo 2
Montando o problema de mínimos quadrados (ideia e notação).
O modelo é linear nos parâmetros a,b,c. Podemos escrever em forma matricial com a matriz de desenho X, o vetor de parâmetros p e o vetor de observações z:
Resolvendo o sistema (eliminação e substituição). Vou mostrar os passos principais do escalonamento (usei aritmética exata/fractionada para evitar acúmulo de erro e depois aproximei):
Eliminação das entradas abaixo do pivô da primeira linha:
fator para R2: f_{21}=\dfrac{77}{196}=\dfrac{11}{28}.
fator para R3: f_{31}=\dfrac{28}{196}=\dfrac{1}{7}.
Após R2 <- R2 - f_{21}R1 e R3 <- R3 - f_{31}R1 obtemos a forma
onde eu mantive frações exatas para a linha 3: a entrada pivot de baixo é \dfrac{329}{115} e o termo independente é \dfrac{127537}{8050}.
Substituição regressiva:
c = \dfrac{\dfrac{127537}{8050}}{\dfrac{329}{115}} = \dfrac{127537}{23030}\approx 5{,}537863656.
Da segunda equação: 28{,}75\,b - 2c = -\dfrac{31279}{280}. Substituindo c e resolvendo, achei
b \approx -3{,}500347\;.
Da primeira equação: 196a + 77b + 28c = -771{,}5. Substituindo b,c e resolvendo, obtive
a \approx -3{,}351707\;.
(Os valores acima foram obtidos mantendo frações intermediárias e convertendo para decimal apenas no final; as aproximações mostradas têm precisão suficiente para decidir entre as alternativas dadas.)]