Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 4 -39.1
-2 3 -18.3
-1 -2 8.7
0 1 2.2
1 -3 12.9
2 4 -21.8
3 2 -31.2
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,6). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -288.0
(B) -287.0
(C) -286.0
(D) -285.0
(E) -284.0
(F) -283.0
(G) -282.0
(H) -281.0

Passo 1

O que o problema pede e os dados disponíveis.
  • Queremos ajustar os parâmetros a,b,c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
de modo a minimizar o erro quadrático entre o modelo e os 7 dados experimentais. Depois, usar o modelo ajustado para prever Z em (x,y)=(9,6).
  • Os 7 pontos dados são:
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z \\hline -3 & 4 & -39{,}1\\\\ -2 & 3 & -18{,}3\\\\ -1 & -2 & 8{,}7\\\\ 0 & 1 & 2{,}2\\\\ 1 & -3 & 12{,}9\\\\ 2 & 4 & -21{,}8\\\\ 3 & 2 & -31{,}2 \end{array}
  • Objetivo final: escolher, entre as alternativas fornecidas, a melhor aproximação para o valor previsto Z(9,6).

Passo 2

Montando o problema de mínimos quadrados (ideia e notação).
  • O modelo é linear nos parâmetros a,b,c. Podemos escrever em forma matricial com a matriz de desenho X, o vetor de parâmetros p e o vetor de observações z:
p = \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix},\qquad X = \begin{pmatrix} x_1^2 & y_1 & 1\\\ x_2^2 & y_2 & 1\\\ \vdots & \vdots & \vdots\\\ x_7^2 & y_7 & 1 \end{pmatrix},\qquad z=\begin{pmatrix}Z_1\\\ \vdots\\\ Z_7\end{pmatrix}.
  • A solução de mínimos quadrados (equação normal) é
(X^{T}X)\,p = X^{T}z,
que é um sistema linear 3\times3 para p. Vou montar X^{T}X e X^{T}z numericamente a partir dos dados.]

Passo 3

Construindo X e calculando as somas necessárias.
  • Para cada ponto calculamos x^2: os valores são \;9,4,1,0,1,4,9.
  • Agora as somas que aparecem em X^{T}X e X^{T}z:
Calculei os seguintes somatórios (mostro como surgem e o valor numérico):
\begin{aligned} &\sum x^2 = 9+4+1+0+1+4+9 = 28,\\\ &\sum y = 4+3-2+1-3+4+2 = 9,\\\ &N=7,\\\ &\sum x^4 = 9^2+4^2+1^2+0^2+1^2+4^2+9^2 = 196,\\\ &\sum (x^2 y) = 9\cdot4 + 4\cdot3 + 1\cdot(-2) + 0\cdot1 + 1\cdot(-3) + 4\cdot4 + 9\cdot2 = 77,\\\ &\sum y^2 = 4^2+3^2+(-2)^2+1^2+(-3)^2+4^2+2^2 = 59,\\\ &\sum Z = -39{,}1 -18{,}3 + 8{,}7 + 2{,}2 + 12{,}9 -21{,}8 -31{,}2 = -86{,}6,\\\ &\sum (yZ) = 4(-39{,}1)+3(-18{,}3)+(-2)(8{,}7)+1(2{,}2)+(-3)(12{,}9)+4(-21{,}8)+2(-31{,}2) = -414{,}8,\\\ &\sum (x^2 Z)=9(-39{,}1)+4(-18{,}3)+1(8{,}7)+0(2{,}2)+1(12{,}9)+4(-21{,}8)+9(-31{,}2) = -771{,}5. \end{aligned}

Passo 4

Escrevendo as matrizes numéricas das equações normais.
  • Com as somas acima obtemos
X^{T}X= \begin{pmatrix} \sum x^4 & \sum x^2 y & \sum x^2\\[4pt] \sum x^2 y & \sum y^2 & \sum y\\[4pt] \sum x^2 & \sum y & N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & 77 & 28\\[4pt] 77 & 59 & 9\\[4pt] 28 & 9 & 7 \end{pmatrix},
X^{T}z= \begin{pmatrix} \sum x^2 Z\\[4pt] \sum y Z\\[4pt] \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -771{,}5\\[4pt] -414{,}8\\[4pt] -86{,}6 \end{pmatrix}.
  • Então resolvemos o sistema linear
\begin{pmatrix} 196 & 77 & 28\\\\ 77 & 59 & 9\\\\ 28 & 9 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-771{,}5\\\\ -414{,}8\\\\ -86{,}6\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolvendo o sistema (eliminação e substituição). Vou mostrar os passos principais do escalonamento (usei aritmética exata/fractionada para evitar acúmulo de erro e depois aproximei):
  1. Eliminação das entradas abaixo do pivô da primeira linha:
  • fator para R2: f_{21}=\dfrac{77}{196}=\dfrac{11}{28}.
  • fator para R3: f_{31}=\dfrac{28}{196}=\dfrac{1}{7}.
Após R2 <- R2 - f_{21}R1 e R3 <- R3 - f_{31}R1 obtemos a forma
\begin{pmatrix} 196 & 77 & 28 & | & -771{,}5\\[4pt] 0 & 28{,}75 & -2 & | & -\dfrac{31279}{280}\\ (\approx -111{,}7107143)\\[4pt] 0 & -2 & 3 & | & \dfrac{1653}{70}\\ (\approx 23{,}6142857) \end{pmatrix}.
  1. Eliminação da entrada (3,2): fator f_{32}=\dfrac{-2}{28{,}75}=-\dfrac{8}{115}. Após R3 <- R3 - f_{32}R2 ficamos com a forma triangular superior
\begin{pmatrix} 196 & * & * & | & *\\[4pt] 0 & 28{,}75 & -2 & | & -\dfrac{31279}{280}\\[4pt] 0 & 0 & \dfrac{329}{115} & | & \dfrac{127537}{8050} \end{pmatrix},
onde eu mantive frações exatas para a linha 3: a entrada pivot de baixo é \dfrac{329}{115} e o termo independente é \dfrac{127537}{8050}.
  1. Substituição regressiva:
  • c = \dfrac{\dfrac{127537}{8050}}{\dfrac{329}{115}} = \dfrac{127537}{23030}\approx 5{,}537863656.
  • Da segunda equação: 28{,}75\,b - 2c = -\dfrac{31279}{280}. Substituindo c e resolvendo, achei
b \approx -3{,}500347\;.
  • Da primeira equação: 196a + 77b + 28c = -771{,}5. Substituindo b,c e resolvendo, obtive
a \approx -3{,}351707\;.
(Os valores acima foram obtidos mantendo frações intermediárias e convertendo para decimal apenas no final; as aproximações mostradas têm precisão suficiente para decidir entre as alternativas dadas.)]

Passo 6

Calculando a previsão em (x,y)=(9,6).
  • Para (x,y)=(9,6) temos x^{2}=81. O modelo prevê
Z(9,6) = a\cdot 81 + b\cdot 6 + c.
  • Substituindo os valores numéricos encontrados:
Z(9,6) \approx 81(-3{,}351707) + 6(-3{,}500347) + 5{,}537864 \approx -286{,}9933\ldots
  • Portanto a melhor aproximação dentre as alternativas (que são valores arredondados por unidade) é -287{,}0, ou seja a alternativa (B).

Resposta

(B) -287{,}0

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