Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 5 -59.5
-2 1 -27.1
-1 1 -12.3
0 -3 2.9
1 -1 -5.6
2 -2 -19.2
3 5 -57.9
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -413.7
(B) -412.7
(C) -411.7
(D) -410.7
(E) -409.7
(F) -408.7
(G) -407.7
(H) -406.7

Passo 1

O enunciado pede que se ajuste por mínimos quadrados os parâmetros a,b,c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
usando as 7 medições da tabela (peguei estes números da tabela do enunciado). Depois disso, com os parâmetros ajustados, calcular o valor previsto de Z em (x,y)=(9,9) e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Dados fornecidos (cada linha é uma medição, tirei da tabela):
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & 5 & -59{,}5\\\\ -2 & 1 & -27{,}1\\\\ -1 & 1 & -12{,}3\\\\ 0 & -3 & 2{,}9\\\\ 1 & -1 & -5{,}6\\\\ 2 & -2 & -19{,}2\\\\ 3 & 5 & -57{,}9 \end{array}
O que vou fazer (resumo do pedido):
  • Ajustar a,b,c por mínimos quadrados a partir desses pontos.
  • Calcular Z_{\text{pred}}(9,9)=a\cdot 9^{2}+b\cdot 9 + c.
  • Escolher a alternativa correta.

Passo 2

Explicando o método (passo-a-passo e didático). O modelo é linear nos parâmetros a,b,c se usarmos como variáveis explicativas u=x^{2} e v=y. Escrevemos para cada medição i:
Z_i = a u_i + b v_i + c,\quad\text{onde }u_i = x_i^2,\; v_i = y_i.
Em forma matricial, com a matriz de projeto A (cada linha [u_i\; v_i\; 1]) e o vetor de observações Z, o ajuste por mínimos quadrados busca \hat\theta=(\hat a,\hat b,\hat c)^T que minimiza \|A\theta - Z\|^2. A equação normal que devemos resolver é
A^{T}A\,\hat\theta = A^{T}Z.
Ou seja, calculamos os somatórios necessários (elementos de A^{T}A e de A^{T}Z) a partir dos dados e resolvemos o sistema linear 3×3 para \hat a,\hat b,\hat c.

Passo 3

Calcular as quantidades que entram nas equações normais. Primeiro construo u=x^{2} para cada linha e calculo os somatórios (peguei x,y,Z da tabela):
Tabela com u=x^{2}:
\begin{array}{r|r|r|r} x & y & u=x^{2} & Z\\hline -3 & 5 & 9 & -59{,}5\\\\ -2 & 1 & 4 & -27{,}1\\\\ -1 & 1 & 1 & -12{,}3\\\\ 0 & -3 & 0 & 2{,}9\\\\ 1 & -1 & 1 & -5{,}6\\\\ 2 & -2 & 4 & -19{,}2\\\\ 3 & 5 & 9 & -57{,}9 \end{array}
Agora os somatórios necessários (vou listar e calcular passo a passo):
  • n=7 (número de pontos).
  • \displaystyle\sum u = 9+4+1+0+1+4+9 = 28.
  • \displaystyle\sum v = \sum y = 5+1+1-3-1-2+5 = 6.
  • \displaystyle\sum Z = -59{,}5 -27{,}1 -12{,}3 +2{,}9 -5{,}6 -19{,}2 -57{,}9 = -178{,}7.
Agora os somatórios de produtos:
  • \displaystyle\sum u^{2} = \sum x^{4} = 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} =81+16+1+0+1+16+81 =196.
  • \displaystyle\sum v^{2} = \sum y^{2} = 5^{2}+1^{2}+1^{2}+(-3)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}+5^{2} =25+1+1+9+1+4+25=66.
  • \displaystyle\sum u v = \sum x^{2}y = 9\cdot5 + 4\cdot1 + 1\cdot1 +0\cdot(-3)+1\cdot(-1)+4\cdot(-2)+9\cdot5 =45+4+1+0-1-8+45 =86.
  • \displaystyle\sum uZ = \sum x^{2}Z = 9(-59{,}5)+4(-27{,}1)+1(-12{,}3)+0(2{,}9)+1(-5{,}6)+4(-19{,}2)+9(-57{,}9).
    Calculo termo a termo: \begin{aligned} 9(-59{,}5)&=-535{,}5,\\\\ 4(-27{,}1)&=-108{,}4,\\\\ 1(-12{,}3)&=-12{,}3,\\\\ 0(2{,}9)&=0,\\\\ 1(-5{,}6)&=-5{,}6,\\\\ 4(-19{,}2)&=-76{,}8,\\\\ 9(-57{,}9)&=-521{,}1. \end{aligned}Somando: -535{,}5 -108{,}4 -12{,}3 + 0 -5{,}6 -76{,}8 -521{,}1 = -1259{,}7.
  • \displaystyle\sum vZ = \sum yZ = 5(-59{,}5)+1(-27{,}1)+1(-12{,}3)+(-3)(2{,}9)+(-1)(-5{,}6)+(-2)(-19{,}2)+5(-57{,}9).
    Calculo termo a termo: \begin{aligned} 5(-59{,}5)&=-297{,}5,\\\\ 1(-27{,}1)&=-27{,}1,\\\\ 1(-12{,}3)&=-12{,}3,\\\ (-3)(2{,}9)&=-8{,}7,\\\ (-1)(-5{,}6)&=+5{,}6,\\\ (-2)(-19{,}2)&=+38{,}4,\\\\ 5(-57{,}9)&=-289{,}5. \end{aligned}Somando: -297{,}5 -27{,}1 -12{,}3 -8{,}7 +5{,}6 +38{,}4 -289{,}5 = -591{,}1.
Resumo dos somatórios (usei os números da tabela):
\begin{aligned} &\sum u = 28,\quad \sum v = 6,\quad \sum Z = -178{,}7,\\\ &\sum u^{2}=196,\quad \sum v^{2}=66,\quad \sum u v =86,\\\ &\sum uZ = -1259{,}7,\quad \sum vZ = -591{,}1,\quad n=7. \end{aligned}

Passo 4

Montar as equações normais \;A^{T}A\,\hat\theta = A^{T}Z. Os elementos de A^{T}A e de A^{T}Z são exatamente os somatórios acima. Escrevo explicitamente o sistema linear para \hat a,\hat b,\hat c:
\begin{cases} \displaystyle 196\,a + 86\,b + 28\,c = -1259{,}7,\\[6pt] \displaystyle 86\,a + 66\,b + 6\,c = -591{,}1,\\[6pt] \displaystyle 28\,a + 6\,b + 7\,c = -178{,}7. \end{cases}
Esse é um sistema 3×3 linear que vem diretamente das equações normais. Agora vou resolvê-lo.]

Passo 5

Resolver o sistema linear (eliminação de Gauss, com pequenos cuidados para facilidade de cálculo). Para evitar muitos arredondamentos com as casas decimais, primeiro multiplico tudo por [10) (os termos do lado direito têm uma casa decimal) e resolvo o sistema inteiro resultante; depois divido os parâmetros pelos fatores corretos se preciso — porém aqui a multiplicação por 10 apenas uniformiza números, os parâmetros finais serão obtidos normalmente.
Sistema multiplicado por 10:
\begin{cases} 1960\,a + 860\,b + 280\,c = -12597,\\[4pt] 860\,a + 660\,b + 60\,c = -5911,\\[4pt] 280\,a + 60\,b + 70\,c = -1787. \end{cases}
Eliminação (faço combinações lineares inteiras para eliminar (a]):
  1. Elimino a\) entre (2) e (1). Faço \(98\times(2) - 43\times(1)\) (porque \(98\cdot860 = 43\cdot1960 = 84280\)): \[27700\,b - 6160\,c = -37607.
  2. Elimino a entre (3) e (1). Faço 7\times(3) - 1\times(1) (porque 7\cdot280 = 1960):
-440\,b + 210\,c = 88.
Ou, multiplicando por -1:
440\,b -210\,c = -88.
Agora resolvo o sistema 2×2:
\begin{cases} 27700\,b -6160\,c = -37607,\\[4pt] 440\,b -210\,c = -88. \end{cases}
Da segunda equação isolamos (c]:
210\,c = 88 + 440\,b \quad\Rightarrow\quad c = \dfrac{88 + 440\,b}{210}.
Substituo na primeira:
27700\,b -6160\cdot\frac{88+440b}{210} = -37607.
Multiplico ambos os lados por 210 para evitar frações:
27700\cdot210\,b -6160(88+440b) = -37607\cdot210.
Fazendo as multiplicações e simplificações obtemos (passos aritméticos já feitos):
3\,106\,600\,b - 542\,080 = -7\,897\,470,
ou
3\,106\,600\,b = -7\,355\,390.
Portanto
b = -\dfrac{7\,355\,390}{3\,106\,600} \approx -2{,}367665615.
Agora calculo c usando c=(88+440b)/210. Substituindo o valor aproximado de b:
c \approx \dfrac{88 + 440(-2{,}367665615)}{210} \approx -4{,}54178.
Finalmente obtenho a pela primeira equação original (em forma não multiplicada por 10, ou usando a versão com decimais):
196\,a = -1259{,}7 -86\,b -28\,c.
Substituindo b e c aproximados:
196\,a \approx -1259{,}7 -86(-2{,}367665615) -28(-4{,}54178) \approx -928{,}91,
logo
a \approx -4{,}739835.
Assim, os parâmetros ajustados (aproximações numéricas com precisão suficiente para prever Z com a precisão pedida) são, aproximadamente:
\boxed{a\approx -4{,}7398,\quad b\approx -2{,}3677,\quad c\approx -4{,}5418.}]

Passo 6

Agora calculo o valor previsto pelo modelo ajustado em (x,y)=(9,9). Lembro que u=x^{2}=9^{2}=81. Portanto
Z_{\text{pred}}(9,9) = a\cdot 81 + b\cdot 9 + c.
Substituindo os valores aproximados:
\begin{aligned} a\cdot 81 &\approx -4{,}739835\times 81 \approx -383{,}9266,\\\ b\cdot 9 &\approx -2{,}367666\times 9 \approx -21{,}3090,\\\ c &\approx -4{,}5418. \end{aligned}
Somando:
Z_{\text{pred}}(9,9) \approx -383{,}9266 -21{,}3090 -4{,}5418 \approx -409{,}7774.
Arredondando à casa decimal (as alternativas variam de 1 em 1 com uma casa decimal), isto corresponde a aproximadamente -409{,}8, que coincide com a alternativa -409{,}7 como a melhor aproximação entre as opções dadas.

Resposta

(E) -409.7

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