Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
5
-59.5
-2
1
-27.1
-1
1
-12.3
0
-3
2.9
1
-1
-5.6
2
-2
-19.2
3
5
-57.9
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(9,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -413.7
(B) -412.7
(C) -411.7
(D) -410.7
(E) -409.7
(F) -408.7
(G) -407.7
(H) -406.7
Passo 1
O enunciado pede que se ajuste por mínimos quadrados os parâmetros a,b,c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
usando as 7 medições da tabela (peguei estes números da tabela do enunciado). Depois disso, com os parâmetros ajustados, calcular o valor previsto de Z em (x,y)=(9,9) e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Dados fornecidos (cada linha é uma medição, tirei da tabela):
Ajustar a,b,c por mínimos quadrados a partir desses pontos.
Calcular Z_{\text{pred}}(9,9)=a\cdot 9^{2}+b\cdot 9 + c.
Escolher a alternativa correta.
Passo 2
Explicando o método (passo-a-passo e didático). O modelo é linear nos parâmetros a,b,c se usarmos como variáveis explicativas u=x^{2} e v=y. Escrevemos para cada medição i:
Z_i = a u_i + b v_i + c,\quad\text{onde }u_i = x_i^2,\; v_i = y_i.
Em forma matricial, com a matriz de projeto A (cada linha [u_i\; v_i\; 1]) e o vetor de observações Z, o ajuste por mínimos quadrados busca \hat\theta=(\hat a,\hat b,\hat c)^T que minimiza \|A\theta - Z\|^2. A equação normal que devemos resolver é
A^{T}A\,\hat\theta = A^{T}Z.
Ou seja, calculamos os somatórios necessários (elementos de A^{T}A e de A^{T}Z) a partir dos dados e resolvemos o sistema linear 3×3 para \hat a,\hat b,\hat c.
Passo 3
Calcular as quantidades que entram nas equações normais. Primeiro construo u=x^{2} para cada linha e calculo os somatórios (peguei x,y,Z da tabela):
\displaystyle\sum u v = \sum x^{2}y = 9\cdot5 + 4\cdot1 + 1\cdot1 +0\cdot(-3)+1\cdot(-1)+4\cdot(-2)+9\cdot5 =45+4+1+0-1-8+45 =86.
\displaystyle\sum uZ = \sum x^{2}Z = 9(-59{,}5)+4(-27{,}1)+1(-12{,}3)+0(2{,}9)+1(-5{,}6)+4(-19{,}2)+9(-57{,}9).
Calculo termo a termo:\begin{aligned} 9(-59{,}5)&=-535{,}5,\\\\ 4(-27{,}1)&=-108{,}4,\\\\ 1(-12{,}3)&=-12{,}3,\\\\ 0(2{,}9)&=0,\\\\ 1(-5{,}6)&=-5{,}6,\\\\ 4(-19{,}2)&=-76{,}8,\\\\ 9(-57{,}9)&=-521{,}1. \end{aligned}Somando: -535{,}5 -108{,}4 -12{,}3 + 0 -5{,}6 -76{,}8 -521{,}1 = -1259{,}7.
\displaystyle\sum vZ = \sum yZ = 5(-59{,}5)+1(-27{,}1)+1(-12{,}3)+(-3)(2{,}9)+(-1)(-5{,}6)+(-2)(-19{,}2)+5(-57{,}9).
Calculo termo a termo:\begin{aligned} 5(-59{,}5)&=-297{,}5,\\\\ 1(-27{,}1)&=-27{,}1,\\\\ 1(-12{,}3)&=-12{,}3,\\\ (-3)(2{,}9)&=-8{,}7,\\\ (-1)(-5{,}6)&=+5{,}6,\\\ (-2)(-19{,}2)&=+38{,}4,\\\\ 5(-57{,}9)&=-289{,}5. \end{aligned}Somando: -297{,}5 -27{,}1 -12{,}3 -8{,}7 +5{,}6 +38{,}4 -289{,}5 = -591{,}1.
Resumo dos somatórios (usei os números da tabela):
\begin{aligned} &\sum u = 28,\quad \sum v = 6,\quad \sum Z = -178{,}7,\\\ &\sum u^{2}=196,\quad \sum v^{2}=66,\quad \sum u v =86,\\\ &\sum uZ = -1259{,}7,\quad \sum vZ = -591{,}1,\quad n=7. \end{aligned}
Passo 4
Montar as equações normais \;A^{T}A\,\hat\theta = A^{T}Z. Os elementos de A^{T}A e de A^{T}Z são exatamente os somatórios acima. Escrevo explicitamente o sistema linear para \hat a,\hat b,\hat c:
Esse é um sistema 3×3 linear que vem diretamente das equações normais. Agora vou resolvê-lo.]
Passo 5
Resolver o sistema linear (eliminação de Gauss, com pequenos cuidados para facilidade de cálculo). Para evitar muitos arredondamentos com as casas decimais, primeiro multiplico tudo por [10) (os termos do lado direito têm uma casa decimal) e resolvo o sistema inteiro resultante; depois divido os parâmetros pelos fatores corretos se preciso — porém aqui a multiplicação por 10 apenas uniformiza números, os parâmetros finais serão obtidos normalmente.
Arredondando à casa decimal (as alternativas variam de 1 em 1 com uma casa decimal), isto corresponde a aproximadamente -409{,}8, que coincide com a alternativa -409{,}7 como a melhor aproximação entre as opções dadas.