Q12. Um sólido contendo \mathbf{2 0 , 0} \boldsymbol{\%} de água é continuamente alimentado com a vazão mássica de \mathbf{1 0 0 0 k g} / \mathbf{h} em um secador a ar para reduzir o teor de água a um máximo de 4,0 \%. O ar fresco tem a umidade de 0,83 \mathrm{~kg} de água/ 100 kg de ar seco e o ar efluente do secador deve ser limitado a 22,2 \mathrm{~kg} de água / 100 \mathrm{~kg} de ar seco. A corrente de ar recirculado é regulada para que a umidade do ar na entrada do secador não ultrapasse 4,4 \mathrm{~kg} de água / 100 \mathrm{~kg} de ar seco. Calcule as vazões mássicas de ar fresco e de ar de reciclo. (Resp.: 786,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de ar fresco; 192,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{g} de ar de reciclo).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei os números direto do enunciado):
  • Vazão mássica de alimentação do sólido: \,1000\\ \mathrm{kg/h}\,.
  • Teor de água no sólido de alimentação: \,20{,}0\% (fração massa de água na alimentação).
  • Teor de água no sólido após o secador: máximo \,4{,}0\%.
  • Umidade do ar fresco: \,0{,}83\\ \mathrm{kg\\ de\\ água} / 100\\ \mathrm{kg\\ de\\ ar\\ seco}á.
  • Umidade do ar efluente (saída do secador) limitada a: \,22{,}2\\ \mathrm{kg\\ de\\ água} / 100\\ \mathrm{kg\\ de\\ ar\\ seco}á.
  • Umidade do ar na entrada do secador (após mistura de ar fresco + ar recirculado) limitada a: \,4{,}4\\ \mathrm{kg\\ de\\ água} / 100\\ \mathrm{kg\\ de\\ ar\\ seco}á.
O que é pedido:
  • Calcular as vazões mássicas de ar fresco e de ar de reciclo (vou apresentar tanto em base de ar seco — kg de ar seco/h — quanto em base de ar úmido (massa total do ar úmido) — kg/h).
Dados numéricos convertidos para razão por kg de ar seco (favorece contas):
  • \,y_f = 0{,}83/100 = 0{,}0083\\ \mathrm{kg\\ H_2O/kg\\ ar\\ seco} (ar fresco).
  • \,y_{out} = 22{,}2/100 = 0{,}222\\ \mathrm{kg\\ H_2O/kg\\ ar\\ seco} (ar efluente).
  • \,y_{in} = 4{,}4/100 = 0{,}044\\ \mathrm{kg\\ H_2O/kg\\ ar\\ seco} (ar de entrada no secador, após mistura).

Passo 2

Calcular a quantidade de água que precisa ser removida do sólido.
  • Água na alimentação: \,m_{w,in} = 1000 \times 0{,}20 = 200\\ \mathrm{kg/h}.
  • Água no produto seco (saída): \,m_{w,out} = 1000 \times 0{,}04 = 40\\ \mathrm{kg/h}.
  • Portanto água removida pelo secador:
\Delta m_w = m_{w,in} - m_{w,out} = 200 - 40 = 160\\ \mathrm{kg/h}.
Comentário didático: esse \Delta m_w é a massa de vapor que o ar deve carregar para fora do processo por unidade de tempo.

Passo 3

Definir variáveis de ar (base: massa de ar seco por hora) e escrever o balanço.
Seja
  • \,A_f = vazão de ar fresco (kg de ar seco/h),
  • \,A_r = vazão de ar recirculado (kg de ar seco/h),
  • \,Q = A_f + A_r = vazão total de ar seco que entra no secador (kg de ar seco/h).
Observações importantes e conservação do ar seco:
  • Em regime estacionário a massa de ar seco que entra no secador é igual à massa de ar seco que sai do secador. A porção que sai é parcialmente recirculada ( A_r) e parcialmente ventilada (é justamente a adição de ar fresco que é expulsa), logo não é necessário um balanço extra para o ar seco além de Q = A_f + A_r.

Passo 4

Balanço de água sobre o secador (ar + sólido).
A água que entra no sistema (por unidade de tempo) é:
  • água trazida pelo ar fresco: A_f\,y_f (kg/h),
  • água trazida pelo sólido de alimentação: 200\\ \mathrm{kg/h}.
A água que sai do sistema é:
  • água levada pelo ar efluente (parte recirculada + parte ventilada), mas como estamos fazendo balanço global (entrada de ar fresco vs. saída ventilada) e o ar seco que é ventilado tem a mesma vazão de ar seco que a fresca (ver observação), é mais simples usar o balanço de água no secador isolado:
    no secador a água adicionada ao ar (a partir do sólido) é igual ao aumento de água no ar entre entrada e saída:
Q\,(y_{out} - y_{in}) = \Delta m_w.
Explicação: Q é a vazão de ar seco que atravessa o secador; cada kg de ar seco aumenta seu conteúdo de água de y_{in} para y_{out}, então o vapor total absorvido pelo ar por hora é Q(y_{out}-y_{in}), que deve ser exatamente \Delta m_w.

Passo 5

Calcular Q (vazão total de ar seco que passa pelo secador).
Usando
Q\,(y_{out} - y_{in}) = 160,
temos
Q = \frac{160}{y_{out} - y_{in}} = \frac{160}{0{,}222 - 0{,}044} = \frac{160}{0{,}178} \approx 898{,}876\\ \mathrm{kg\\ ar\\ seco/h}.

Passo 6

Balanço de mistura para obter A_f e A_r.
A umidade na entrada do secador ( y_{in}) é a média ponderada das umidades do ar fresco e do ar recirculado:
y_{in} = \frac{A_f y_f + A_r y_{out}}{A_f + A_r} = \frac{A_f y_f + A_r y_{out}}{Q}.
Reescrevendo com A_r = Q - A_f:
y_{in} = \frac{A_f y_f + (Q - A_f) y_{out}}{Q}
\Rightarrow A_f (y_f - y_{out}) + Q y_{out} = Q y_{in}
\Rightarrow A_f = Q\frac{y_{in} - y_{out}}{y_f - y_{out}}.
Substituindo os números:
A_f = 898{,}876\cdot\frac{0{,}044 - 0{,}222}{0{,}0083 - 0{,}222} = 898{,}876\cdot\frac{-0{,}178}{-0{,}2137} \approx 749{,}0\\ \mathrm{kg\\ ar\\ seco/h}.
Então
A_r = Q - A_f \approx 898{,}876 - 749{,}0 \approx 149{,}9\\ \mathrm{kg\\ ar\\ seco/h}.
Passo pedagógico: interprete A_f e A_r como massa de ar seco por hora. Esses valores vêm diretamente do balanço da umidade e do fato de que o ar recirculado tem a umidade do ar efluente.

Passo 7

Converter para vazões de ar úmido (massa total de ar, ar seco + vapor) — isso costuma ser o que se pede quando se fala “vazão mássica de ar”.
A massa total de ar úmido associada a uma vazão de ar seco A é
\dot{m}_{\text{úmido}} = A\,(1 + y),ú
onde y é a razão \mathrm{kg\\ H_2O/kg\\ ar\\ seco} do fluxo considerado.
  • Para o ar fresco (usa-se y_f):
\dot{m}_{f,\text{úmido}} = A_f(1 + y_f) = 749{,}0\cdot(1 + 0{,}0083) \approx 755{,}2\\ \mathrm{kg/h}.ú
  • Para o ar de reciclo (usa-se y_{out}, pois o ar recirculado tem a umidade do efluente):
\dot{m}_{r,\text{úmido}} = A_r(1 + y_{out}) = 149{,}9\cdot(1 + 0{,}222) \approx 183{,}1\\ \mathrm{kg/h}.ú

Passo 8

Breve checagem rápida (consistência):
  • O total de água removida pelo ar por hora: Q(y_{out}-y_{in}) \approx 898{,}876\times0{,}178 \approx 160\\ \mathrm{kg/h} — confere com \Delta m_w.
  • A mistura de ar fresco e recirculado produz exatamente y_{in} na entrada — checado pela fórmula usada.

Resposta

A_f = 749{,}0\\ \mathrm{kg\\ de\\ ar\\ seco/h} \quad (\text{equivalente a } 755{,}2\\ \mathrm{kg/h\\ de\\ ar\\ úmido})ú
A_r = 149{,}9\\ \mathrm{kg\\ de\\ ar\\ seco/h} \quad (\text{equivalente a } 183{,}1\\ \mathrm{kg/h\\ de\\ ar\\ úmido})ú

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