Um pêndulo simples é montado em um elevador. O que acontece com o período do movimento (aumenta, diminui ou permanece constante) se o elevador? Justifique suas respostas.
está subindo com velocidade constante de
;
está subindo com velocidade constante de
Passo 1
O enunciado pede: determinar o que acontece com o período do pêndulo simples (aumenta, diminui ou permanece constante) e justificar a resposta quando o elevador está subindo com velocidade constante de
.
Informações dadas:
- Existe um pêndulo simples preso dentro do elevador.
- O elevador sobe com velocidade constante igual a
. - Não foi dada a aceleração do elevador além de ser movimento com velocidade constante (portanto presumir aceleração nula).
- Quer-se a variação do período do pêndulo (comparado ao caso de referência em repouso na Terra).
Passo 2
Modelo do pêndulo e forças tangenciais (montando a equação de movimento).
- Seja
o comprimento do pêndulo (distância do ponto de apoio ao centro de massa da massa pendular). Explique: é o comprimento que aparece na fórmula do período. - Em cada instante o peso
atua para baixo. Para oscilações pequenas, analisamos a componente tangencial da força restauradora ao longo da trajetória circular. - A componente tangencial da força peso vale
, onde é o desvio angular do vertical (sinal negativo porque a força tende a reduzir ). Aqui: -
é a massa do pêndulo, -
é a aceleração da gravidade (módulo, típico ), -
é o ângulo medido a partir da posição de equilíbrio vertical.
-
Passo 3
Equação do movimento angular padrão (quadro geral, incluindo caso de elevador acelerado).
- A tangente à trajetória tem raio
, então a aceleração tangencial é . Pela segunda lei de Newton (com forças tangenciais) obtemos:
onde foi introduzida a notação
para a “gravidade efetiva” no referencial do elevador.
- Explicação do que é
: se o elevador tiver aceleração vertical (positiva para cima), no referencial do elevador aparece uma força inercial dirigida para baixo; portanto
- Observação importante: se o elevador se move com velocidade constante então
, e . (Isto é consequência da equivalência de referenciais inerciais: movimento retilíneo uniforme não produz forças fictícias.)
Passo 4
Linearização (aproximação de pequenos ângulos) e cálculo da frequência e do período.
- Para pequenas oscilações vale
(ângulos em radianos). Então a equação linearizada fica:
- Esta é a equação de um oscilador harmónico simples com frequência angular
- O período
(tempo de uma oscilação completa) é dado por
- Aqui explicar cada símbolo:
-
é o período (s), -
é o comprimento do pêndulo (m), -
é a gravidade efetiva (m/s ), que vale se houver aceleração vertical .
-
Passo 5
Aplicação ao caso pedido (elevador subindo com velocidade constante).
- No caso do enunciado o elevador sobe com velocidade constante de
, logo sua aceleração vertical é . - Então
. Substituindo em
obtém-se exatamente a fórmula usual do pêndulo em repouso:
- Interpretação didática: movimento retilíneo uniforme do elevador não altera as forças internas do pêndulo (não aparece força fictícia), portanto o período não depende da velocidade constante do elevador (nem do valor
); depende apenas de e de .
Resposta
Permanece constante.