Um pêndulo simples é montado em um elevador. O que acontece com o período do movimento (aumenta, diminui ou permanece constante) se o elevador? Justifique suas respostas.
está subindo com velocidade constante de 5,0 \mathrm{~m} /\mathrm{s};

Passo 1

O enunciado pede: determinar o que acontece com o período do pêndulo simples (aumenta, diminui ou permanece constante) e justificar a resposta quando o elevador está subindo com velocidade constante de 5,0\\ \mathrm{m/s}.
Informações dadas:
  • Existe um pêndulo simples preso dentro do elevador.
  • O elevador sobe com velocidade constante igual a 5,0\\ \mathrm{m/s}.
  • Não foi dada a aceleração do elevador além de ser movimento com velocidade constante (portanto presumir aceleração nula).
  • Quer-se a variação do período do pêndulo (comparado ao caso de referência em repouso na Terra).

Passo 2

Modelo do pêndulo e forças tangenciais (montando a equação de movimento).
  • Seja L o comprimento do pêndulo (distância do ponto de apoio ao centro de massa da massa pendular). Explique: L é o comprimento que aparece na fórmula do período.
  • Em cada instante o peso m\mathbf{g} atua para baixo. Para oscilações pequenas, analisamos a componente tangencial da força restauradora ao longo da trajetória circular.
  • A componente tangencial da força peso vale -mg\sin\theta, onde \theta é o desvio angular do vertical (sinal negativo porque a força tende a reduzir \theta). Aqui:
    • m é a massa do pêndulo,
    • g é a aceleração da gravidade (módulo, típico 9,8\\ \mathrm{m/s^2}),
    • \theta é o ângulo medido a partir da posição de equilíbrio vertical.

Passo 3

Equação do movimento angular padrão (quadro geral, incluindo caso de elevador acelerado).
  • A tangente à trajetória tem raio L, então a aceleração tangencial é L\ddot\theta. Pela segunda lei de Newton (com forças tangenciais) obtemos:
mL\ddot\theta = -m g_{\text{ef}}\sin\theta,
onde foi introduzida a notação g_{\text{ef}} para a “gravidade efetiva” no referencial do elevador.
  • Explicação do que é g_{\text{ef}}: se o elevador tiver aceleração vertical \,a (positiva para cima), no referencial do elevador aparece uma força inercial -m a dirigida para baixo; portanto
g_{\text{ef}} = g + a.
  • Observação importante: se o elevador se move com velocidade constante então \,a=0, e g_{\text{ef}}=g. (Isto é consequência da equivalência de referenciais inerciais: movimento retilíneo uniforme não produz forças fictícias.)

Passo 4

Linearização (aproximação de pequenos ângulos) e cálculo da frequência e do período.
  • Para pequenas oscilações vale \sin\theta\approx\theta (ângulos em radianos). Então a equação linearizada fica:
\ddot\theta + \frac{g_{\text{ef}}}{L}\,\theta = 0.
  • Esta é a equação de um oscilador harmónico simples com frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{g_{\text{ef}}}{L}}.
  • O período T (tempo de uma oscilação completa) é dado por
T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{\text{ef}}}}.
  • Aqui explicar cada símbolo:
    • T é o período (s),
    • L é o comprimento do pêndulo (m),
    • g_{\text{ef}} é a gravidade efetiva (m/s ^2), que vale g+a se houver aceleração vertical a.

Passo 5

Aplicação ao caso pedido (elevador subindo com velocidade constante).
  • No caso do enunciado o elevador sobe com velocidade constante de 5,0\\ \mathrm{m/s}, logo sua aceleração vertical é \,a=0.
  • Então g_{\text{ef}}=g+0=g. Substituindo em T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{\text{ef}}}}
obtém-se exatamente a fórmula usual do pêndulo em repouso: T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}.
  • Interpretação didática: movimento retilíneo uniforme do elevador não altera as forças internas do pêndulo (não aparece força fictícia), portanto o período não depende da velocidade constante do elevador (nem do valor 5,0\\ \mathrm{m/s}); depende apenas de L e de g.

Resposta

Permanece constante.

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