Q13: Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 3 & 1 & 7 & -3 & 3 & 6 & 4 & -5 \\\\ 0 & 3 & 3 & 4 & -4 & -4 & 4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & 1 & 4 & 5 & -4 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -3 & 3 & -6 & -5 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & -4 \end{array}\right]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(3-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(3-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(-3-\lambda)
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(2-\lambda)
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{2}
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{3}(-5-\lambda)(2-\lambda)
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(3-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)(-3-\lambda)
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(3-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz A dada e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).
Informações relevantes do enunciado (extraídas da própria matriz): a matriz A tem dimensão 8\times8. Observando as linhas 6,7,8 vemos que nelas todas as entradas nas colunas 1 a 5 são zero. Ou seja, na forma de blocos
A=\begin{pmatrix} B & C\\[4pt] 0 & D \end{pmatrix},
onde B é a submatriz 5\times5 formada pelas linhas e colunas 1 a 5, e D é a submatriz 3\times3 formada pelas linhas e colunas 6 a 8. Essa estrutura será usada na resolução.]

Passo 2

Conceito-ferramenta importante (aula curta): se uma matriz tem a forma em blocos
\begin{pmatrix}B & C\\[4pt]0 & D\end{pmatrix},
então o determinante é o produto dos determinantes dos blocos diagonais:
\det\!\big(A-\lambda I\big)=\det\!\big(B-\lambda I_5\big)\cdot\det\!\big(D-\lambda I_3\big).
Isto decorre da expansão por blocos (é uma matriz triangular por blocos). Portanto, o polinômio característico de A é o produto dos polinômios característicos de B e D.]

Passo 3

Identificação explícita dos blocos B e D.
O bloco B (linhas e colunas 1 a 5) é
B=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 7 & -3 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 3 & 4 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}.
O bloco D (linhas e colunas 6 a 8) é
D=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0\\[4pt] 6 & -3 & 1\\[4pt] 2 & 0 & -4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Estrutura adicional em B: as entradas nas colunas 1 e 2 das linhas 3,4,5 são zero, logo B tem forma em blocos
B=\begin{pmatrix} M_{11} & M_{12}\\[4pt] 0 & M_{22} \end{pmatrix},
com
M_{11}=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix},\qquad M_{22}=\begin{pmatrix}3 & 0 & 0\\[4pt]-1 & -1 & 1\\[4pt]-1 & -1 & -3\end{pmatrix}.
Novamente, \det(B-\lambda I_5)=\det(M_{11}-\lambda I_2)\cdot\det(M_{22}-\lambda I_3).]

Passo 5

Cálculo de \det(M_{11}-\lambda I_2).
Escrevendo
M_{11}-\lambda I_2=\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\[4pt]0 & 3-\lambda\end{pmatrix},
que é triangular superior, então o determinante é o produto dos elementos diagonais:
\det(M_{11}-\lambda I_2)=(3-\lambda)(3-\lambda)=(3-\lambda)^2.
Interpretação: M_{11} dá valor próprio \lambda=3 com multiplicidade 2.]

Passo 6

Cálculo de \det(M_{22}-\lambda I_3) (aula sobre desenvolvimento por linha/coluna).
Escrevemos
M_{22}-\lambda I_3= \begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 & 0\\[4pt] -1 & -1-\lambda & 1\\[4pt] -1 & -1 & -3-\lambda \end{pmatrix}.
Observe que a primeira linha tem só o primeiro elemento possivelmente não nulo; assim podemos expandir pelo desenvolvimento na primeira linha (ou notar que é bloco triangular com primeiro bloco 3-\lambda). O determinante vale
\det(M_{22}-\lambda I_3)=(3-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 1\\[4pt]-1 & -3-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calcula-se o determinante 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 1\\[4pt]-1 & -3-\lambda\end{pmatrix}=(-1-\lambda)(-3-\lambda)- (1)(-1).
Desenvolvendo:
(-1-\lambda)(-3-\lambda)=3+4\lambda+\lambda^2,
então somando +1 (porque menos menos um) obtemos
3+4\lambda+\lambda^2+1=\lambda^2+4\lambda+4=(\lambda+2)^2.
Portanto
\det(M_{22}-\lambda I_3)=(3-\lambda)\,(\lambda+2)^2.
Interpretação: M_{22} dá autovalores \lambda=3 (uma vez) e \lambda=-2 (duas vezes).]

Passo 7

Combinação dos resultados para B.
Juntando Passo 5 e Passo 6:
\det(B-\lambda I_5)=\det(M_{11}-\lambda I_2)\cdot\det(M_{22}-\lambda I_3)=(3-\lambda)^2\cdot(3-\lambda)\,(\lambda+2)^2.
Logo
\det(B-\lambda I_5)=(3-\lambda)^3\,(\lambda+2)^2.
Interpretação: no total, a parte B contribui com \lambda=3 com multiplicidade 3 e \lambda=-2 com multiplicidade 2.

Passo 8

Cálculo de \det(D-\lambda I_3).
Escrevemos
D-\lambda I_3=\begin{pmatrix}-2-\lambda & 0 & 0\\[4pt]6 & -3-\lambda & 1\\[4pt]2 & 0 & -4-\lambda\end{pmatrix}.
A primeira linha tem só o primeiro elemento não nulo, então a expansão pela primeira linha dá
\det(D-\lambda I_3)=(-2-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}-3-\lambda & 1\\[4pt]0 & -4-\lambda\end{pmatrix}.
O determinante do 2\times2 é ( -3-\lambda)(-4-\lambda)-1\cdot 0=( -3-\lambda)(-4-\lambda). Assim
\det(D-\lambda I_3)=(-2-\lambda)\,(-3-\lambda)\,(-4-\lambda).
Podemos também observar que isso equivale a (\lambda+2)(\lambda+3)(\lambda+4) até sinais, mas a forma com -\cdot- é compatível com as alternativas.
Interpretação: D tem autovalores \lambda=-2,\,-3,\,-4 (cada um com multiplicidade 1).]

Passo 9

Produto final: polinômio característico de A.
Pelo Passo 2,
\det(A-\lambda I_8)=\det(B-\lambda I_5)\cdot\det(D-\lambda I_3).
Substituindo os fatores encontrados:
\det(A-\lambda I_8)=(3-\lambda)^3(\lambda+2)^2\cdot(-2-\lambda)(-3-\lambda)(-4-\lambda).
Agrupando os fatores relativos a \lambda=-2: (\lambda+2)^2\cdot(-2-\lambda)=(-2-\lambda)^3 (lembrando que -2-\lambda=-(\lambda+2), então o sinal global está coerente com as opções). Assim uma forma conveniente de escrever é
\det(A-\lambda I_8)=(3-\lambda)^3(-2-\lambda)^3(-3-\lambda)(-4-\lambda).
Isso mostra as multiplicidades: \lambda=3 com multiplicidade 3, \lambda=-2 com multiplicidade 3, \lambda=-3 com multiplicidade 1, \lambda=-4 com multiplicidade 1.

Passo 10

Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde exatamente a
(3-\lambda)^3(-2-\lambda)^3(-4-\lambda)(-3-\lambda)
é a alternativa (G).

Resposta

G

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