Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(3-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(3-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(-3-\lambda)
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(2-\lambda)
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{2}
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{3}(-5-\lambda)(2-\lambda)
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(3-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)(-3-\lambda)
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(3-\lambda)^{3}(-2-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{2}
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz A dada e escolher a alternativa correta entre (A)–(H).
Informações relevantes do enunciado (extraídas da própria matriz): a matriz A tem dimensão 8\times8. Observando as linhas 6,7,8 vemos que nelas todas as entradas nas colunas 1 a 5 são zero. Ou seja, na forma de blocos
A=\begin{pmatrix} B & C\\[4pt] 0 & D \end{pmatrix},
onde B é a submatriz 5\times5 formada pelas linhas e colunas 1 a 5, e D é a submatriz 3\times3 formada pelas linhas e colunas 6 a 8. Essa estrutura será usada na resolução.]
Passo 2
Conceito-ferramenta importante (aula curta): se uma matriz tem a forma em blocos
\begin{pmatrix}B & C\\[4pt]0 & D\end{pmatrix},
então o determinante é o produto dos determinantes dos blocos diagonais:
Isto decorre da expansão por blocos (é uma matriz triangular por blocos). Portanto, o polinômio característico de A é o produto dos polinômios característicos de B e D.]
Observe que a primeira linha tem só o primeiro elemento possivelmente não nulo; assim podemos expandir pelo desenvolvimento na primeira linha (ou notar que é bloco triangular com primeiro bloco 3-\lambda). O determinante vale
Agrupando os fatores relativos a \lambda=-2: (\lambda+2)^2\cdot(-2-\lambda)=(-2-\lambda)^3 (lembrando que -2-\lambda=-(\lambda+2), então o sinal global está coerente com as opções). Assim uma forma conveniente de escrever é
Isso mostra as multiplicidades: \lambda=3 com multiplicidade 3, \lambda=-2 com multiplicidade 3, \lambda=-3 com multiplicidade 1, \lambda=-4 com multiplicidade 1.
Passo 10
Comparando com as alternativas dadas, a que corresponde exatamente a