Q10: Considere a sequência formada pela lei de recorrência x_{n+2}=-3 x_{n}+\frac{148}{7} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=21, para que valor de x_{2} temos \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}x_{n} \\\ x_{n+1}\end{array}\right] e note que
\vec{v}_{n+1}=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ -3 & 148 / 7 \end{array}\right] \vec{v}_{n} \quad \text { para } n=1,2,3, \ldots
Portanto \vec{v}_{n+1}=\left[\begin{array}{rr}0 & 1 \\\\ -3 & 148 / 7\end{array}\right]^{n} \vec{v}_{1}.
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9

Passo 1

O enunciado dá a recorrência
x_{n+2}=-3x_n+\frac{148}{7}x_{n+1},\quad n=1,2,3,\ldots,
e sugere trabalhar com o vetor
\vec{v}_n=\begin{pmatrix}x_n\\[4pt]x_{n+1}\end{pmatrix},
de forma que
\vec{v}_{n+1}=A\vec{v}_n\quad\text{com}\quad A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-3 & 148/7\end{pmatrix}.
Sabemos também que x_1=21 e queremos achar qual valor de x_2 faz com que \lim_{n\to\infty} x_n=0.
As informações relevantes: a matriz A, o vetor inicial \vec{v}_1=\begin{pmatrix}21\\[4pt]x_2\end{pmatrix} (com x_2 desconhecido) e a exigência do limite \lim_{n\to\infty}x_n=0.]

Passo 2

Explicação do método (intuição): como \vec{v}_{n+1}=A^n\vec{v}_1, o comportamento de \vec{v}_n quando n\to\infty é determinado pelos autovalores (e autovetores) de A. Se expressarmos \vec{v}_1 na base de autovetores, cada componente cresce/decai como o autovalor correspondente elevado a n. Para que x_n\to0 é preciso que todas as componentes associadas a autovalores de módulo maior ou igual a 1 sejam nulas; caso contrário haverá crescimento ou não convergência a zero.

Passo 3

Vamos calcular os autovalores de A. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\lambda^2-\frac{148}{7}\lambda+3.
Para achar os autovalores resolvemos
\lambda^2-\frac{148}{7}\lambda+3=0.

Passo 4

Calculamos o discriminante:
\Delta=\left(\frac{148}{7}\right)^2-4\cdot1\cdot3=\frac{21904}{49}-\frac{588}{49}=\frac{21316}{49}.
Observando que 21316=4\cdot5329 e 5329=73^2, temos \sqrt{21316}=146. Assim
\sqrt{\Delta}=\frac{146}{7}.
Os autovalores são
\lambda=\frac{\tfrac{148}{7}\pm\tfrac{146}{7}}{2}=\frac{148\pm146}{14}.
Logo
\lambda_1=\frac{148+146}{14}=\frac{294}{14}=21, \qquad \lambda_2=\frac{148-146}{14}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}.

Passo 5

Interpretação dos autovalores: \lambda_1=21 tem módulo maior que 1 (vai explodir como 21^n), enquanto \lambda_2=1/7 tem |\lambda_2|<1 (decai para 0 como (1/7)^n). Então, para que \vec{v}_n\to\vec{0} e em particular x_n\to0, a componente de \vec{v}_1 na direção do autovetor associado a \lambda_1=21 deve ser zero. Em outras palavras, \vec{v}_1 deve ter coeficiente nulo no autovetor de \lambda_1.

Passo 6

Vamos achar o autovetor correspondente a \lambda_1=21. Resolvemos (A-21I)\vec{u}=0. Temos
A-21I=\begin{pmatrix}-21 & 1\\[4pt]-3 & 148/7-21\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-21 & 1\\[4pt]-3 & 1/7\end{pmatrix}.
Da primeira linha -21u_1+u_2=0, logo u_2=21u_1. Um autovetor conveniente é
\vec{u}_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]21\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora o autovetor para \lambda_2=1/7. Resolvendo (A-\tfrac{1}{7}I)\vec{w}=0 obtemos
A-\tfrac{1}{7}I=\begin{pmatrix}-1/7 & 1\\[4pt]-3 & 21\end{pmatrix}.
Da primeira linha -\tfrac{1}{7}w_1+w_2=0, então w_2=\tfrac{1}{7}w_1. Um autovetor conveniente é
\vec{u}_2=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1/7\end{pmatrix}.]

Passo 8

Escrevemos o vetor inicial \vec{v}_1=\begin{pmatrix}21\\[4pt]x_2\end{pmatrix} como combinação linear dos autovetores:
\vec{v}_1=\alpha\begin{pmatrix}1\\[4pt]21\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}1\\[4pt]1/7\end{pmatrix}.
Para que a parte associada a \lambda_1=21 desapareça do comportamento assintótico é necessário \alpha=0. Se \alpha=0 então
\vec{v}_1=\beta\begin{pmatrix}1\\[4pt]1/7\end{pmatrix}.
Comparando a primeira componente: 21=\beta\cdot1, portanto \beta=21. Da segunda componente:
x_2=\beta\cdot\frac{1}{7}=21\cdot\frac{1}{7}=3.]

Passo 9

Conclusão e checagem rápida: com x_2=3 temos \vec{v}_1=21\,\vec{u}_2, ou seja, \vec{v}_1 está somente na direção do autovetor associado a \lambda_2=1/7. Então
\vec{v}_{n+1}=A^n\vec{v}_1=21\,(1/7)^n\vec{u}_2\to\vec{0}
quando n\to\infty, e portanto x_n\to0. Assim o valor procurado é x_2=3.

Resposta

(B) 3

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