Q10: Considere a sequência formada pela lei de recorrência x_{n+2}=-3 x_{n}+\frac{148}{7} x_{n+1}, \quad n=1,2,3, \ldots. Se x_{1}=21, para que valor de x_{2} temos \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0 ?
Dica: defina \vec{v}_{n}=\left[\begin{array}{c}x_{n} \\\ x_{n+1}\end{array}\right] e note que
Sabemos também que x_1=21 e queremos achar qual valor de x_2 faz com que \lim_{n\to\infty} x_n=0.
As informações relevantes: a matriz A, o vetor inicial \vec{v}_1=\begin{pmatrix}21\\[4pt]x_2\end{pmatrix} (com x_2 desconhecido) e a exigência do limite \lim_{n\to\infty}x_n=0.]
Passo 2
Explicação do método (intuição): como \vec{v}_{n+1}=A^n\vec{v}_1, o comportamento de \vec{v}_n quando n\to\infty é determinado pelos autovalores (e autovetores) de A. Se expressarmos \vec{v}_1 na base de autovetores, cada componente cresce/decai como o autovalor correspondente elevado a n. Para que x_n\to0 é preciso que todas as componentes associadas a autovalores de módulo maior ou igual a 1 sejam nulas; caso contrário haverá crescimento ou não convergência a zero.
Passo 3
Vamos calcular os autovalores de A. O polinômio característico é
Interpretação dos autovalores: \lambda_1=21 tem módulo maior que 1 (vai explodir como 21^n), enquanto \lambda_2=1/7 tem |\lambda_2|<1 (decai para 0 como (1/7)^n). Então, para que \vec{v}_n\to\vec{0} e em particular x_n\to0, a componente de \vec{v}_1 na direção do autovetor associado a \lambda_1=21 deve ser zero. Em outras palavras, \vec{v}_1 deve ter coeficiente nulo no autovetor de \lambda_1.
Passo 6
Vamos achar o autovetor correspondente a \lambda_1=21. Resolvemos (A-21I)\vec{u}=0. Temos
Comparando a primeira componente: 21=\beta\cdot1, portanto \beta=21. Da segunda componente:
x_2=\beta\cdot\frac{1}{7}=21\cdot\frac{1}{7}=3.]
Passo 9
Conclusão e checagem rápida: com x_2=3 temos \vec{v}_1=21\,\vec{u}_2, ou seja, \vec{v}_1 está somente na direção do autovetor associado a \lambda_2=1/7. Então