Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 22 e 22 respectivamente, então
é diagonalizável.
II - Se
é o polinómio característico de uma matriz real e
, então
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I - Se
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas e pede que decidamos quais são verdadeiras ou falsas:
I - Se
possui dois autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica
e
respectivamente, então
é diagonalizável.
II - Se
é o polinómio característico de uma matriz real e
, então
.
Informações relevantes dadas:
- Para I: o espaço é
; há exatamente dois autovalores reais distintos; as multiplicidades geométricas desses autovalores são e . - Para II:
é o polinómio característico de uma matriz com coeficientes reais e satisfaz .
O que se pede: determinar a veracidade de cada afirmativa e, a partir disso, escolher a alternativa correta entre (A)–(D).
Passo 2
Vamos revisar conceitos essenciais (devagar e com exemplos curtos):
-
Autovalor e autovetor: um número
é autovalor de uma transformação linear se existe vetor não-nulo tal que . Esse é um autovetor associado a . -
Espaço próprio (eigenspace): para um autovalor
, o conjunto de todos os autovetores associados a junto com o vetor zero forma um subespaço, chamado de espaço próprio . A dimensão de é a multiplicidade geométrica de . -
Multiplicidade algébrica: é a multiplicidade do autovalor como raiz do polinómio característico. Denotemos-a por mult_alg(
). Sempre vale -
Diagonalizável: uma transformação (ou matriz) em
é diagonalizável (sobre ) se existe uma base formada apenas por autovetores. Equivalente e prático: a soma das dimensões dos espaços próprios (ou seja, a soma das multiplicidades geométricas) é .
Exemplo curto: se numa transformação em
temos três autovalores distintos, então normalmente temos três autovetores linearmente independentes e a transformação é diagonalizável. Se tivermos apenas dois autovalores, precisamos checar as multiplicidades geométricas para ver se a soma dá
.
Passo 3
Analisando a afirmativa I passo a passo:
Dados:
tem dois autovalores reais distintos (digamos
e
) com multiplicidades geométricas
Propriedade importante que usamos: espaços próprios relativos a autovalores distintos intersectam apenas em
. Portanto a soma direta vale dimensão da soma:
Como
tem dimensão
, concluímos que
Isto significa que existe uma base de
formada por autovetores (pegamos uma base de
com 22 vetores e uma base de
com 22 vetores). Ter uma base inteira de autovetores é exatamente a definição prática de diagonalizabilidade.
Logo, pela definição,
é diagonalizável.
Passo 4
Complemento (para consolidar a intuição): pela desigualdade
, as multiplicidades algébricas de
e
são pelo menos
cada. Como o grau do polinómio característico é
, as multiplicidades algébricas somam exatamente
; isto força
e
. Quando, para cada autovalor, multiplicidade geométrica = multiplicidade algébrica, a matriz é diagonalizável. Isso reforça o argumento anterior.
Portanto, a afirmativa I é verdadeira.
Passo 5
Agora analisando a afirmativa II passo a passo:
Dado:
é o polinómio característico de uma matriz com coeficientes reais (logo
tem coeficientes reais). Sabemos que
, isto é,
é uma raiz de
.
Propriedade correta sobre polinómios com coeficientes reais: se uma raiz complexa não-real
(com
) é raiz, então seu conjugado
também é raiz. Isso fala sobre conjugação complexa, não sobre mudar o sinal da raiz. Não existe, em geral, nenhuma regra que force que, se
é raiz, então
também seja raiz.
Contraprova simples e direta (contraexemplo): considere a matriz
. O polinómio característico de
é
Temos
, mas
Portanto a afirmativa “se
então
” é falsa em geral.
Assim, a afirmativa II é falsa.
Passo 6
Conclusão combinada: I é verdadeira e II é falsa. A alternativa que corresponde a isso é a letra (B).
Resposta
(B) Só I é verdadeira.