Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Q: \mathbb{R}^{44} \rightarrow \mathbb{R}^{44} possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 22 e 22 respectivamente, então Q é diagonalizável.
II - Se p é o polinómio característico de uma matriz real e p(3)=0, então p(-3)=0.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmativas e pede que decidamos quais são verdadeiras ou falsas:
I - Se Q: \mathbb{R}^{44} \rightarrow \mathbb{R}^{44} possui dois autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 22 e 22 respectivamente, então Q é diagonalizável.
II - Se p é o polinómio característico de uma matriz real e p(3)=0, então p(-3)=0.
Informações relevantes dadas:
  • Para I: o espaço é \mathbb{R}^{44}; há exatamente dois autovalores reais distintos; as multiplicidades geométricas desses autovalores são 22 e 22.
  • Para II: p é o polinómio característico de uma matriz com coeficientes reais e satisfaz p(3)=0.
O que se pede: determinar a veracidade de cada afirmativa e, a partir disso, escolher a alternativa correta entre (A)–(D).

Passo 2

Vamos revisar conceitos essenciais (devagar e com exemplos curtos):
  • Autovalor e autovetor: um número \lambda é autovalor de uma transformação linear T se existe vetor não-nulo v tal que T(v)=\lambda v. Esse v é um autovetor associado a \lambda.
  • Espaço próprio (eigenspace): para um autovalor \lambda, o conjunto de todos os autovetores associados a \lambda junto com o vetor zero forma um subespaço, chamado de espaço próprio E_\lambda. A dimensão de E_\lambda é a multiplicidade geométrica de \lambda.
  • Multiplicidade algébrica: é a multiplicidade do autovalor como raiz do polinómio característico. Denotemos-a por mult_alg( \lambda). Sempre vale
    1 \le \text{mult\_geom}(\lambda)\le \text{mult\_alg}(\lambda).
  • Diagonalizável: uma transformação (ou matriz) em \mathbb{R}^n é diagonalizável (sobre \mathbb{R}) se existe uma base formada apenas por autovetores. Equivalente e prático: a soma das dimensões dos espaços próprios (ou seja, a soma das multiplicidades geométricas) é n.
Exemplo curto: se numa transformação em \mathbb{R}^3 temos três autovalores distintos, então normalmente temos três autovetores linearmente independentes e a transformação é diagonalizável. Se tivermos apenas dois autovalores, precisamos checar as multiplicidades geométricas para ver se a soma dá 3.

Passo 3

Analisando a afirmativa I passo a passo:
Dados: Q: \mathbb{R}^{44}\to\mathbb{R}^{44} tem dois autovalores reais distintos (digamos \lambda_1 e \lambda_2) com multiplicidades geométricas
\dim E_{\lambda_1}=22,\qquad \dim E_{\lambda_2}=22.
Propriedade importante que usamos: espaços próprios relativos a autovalores distintos intersectam apenas em \{0\}. Portanto a soma direta vale dimensão da soma:
\dim(E_{\lambda_1}\oplus E_{\lambda_2})=\dim E_{\lambda_1}+\dim E_{\lambda_2}=22+22=44.
Como \mathbb{R}^{44} tem dimensão 44, concluímos que
E_{\lambda_1}\oplus E_{\lambda_2}=\mathbb{R}^{44}.
Isto significa que existe uma base de \mathbb{R}^{44} formada por autovetores (pegamos uma base de E_{\lambda_1} com 22 vetores e uma base de E_{\lambda_2} com 22 vetores). Ter uma base inteira de autovetores é exatamente a definição prática de diagonalizabilidade.
Logo, pela definição, Q é diagonalizável.

Passo 4

Complemento (para consolidar a intuição): pela desigualdade \text{mult\_geom}(\lambda)\le\text{mult\_alg}(\lambda), as multiplicidades algébricas de \lambda_1 e \lambda_2 são pelo menos 22 cada. Como o grau do polinómio característico é 44, as multiplicidades algébricas somam exatamente 44; isto força \text{mult\_alg}(\lambda_1)=22 e \text{mult\_alg}(\lambda_2)=22. Quando, para cada autovalor, multiplicidade geométrica = multiplicidade algébrica, a matriz é diagonalizável. Isso reforça o argumento anterior.
Portanto, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 5

Agora analisando a afirmativa II passo a passo:
Dado: p é o polinómio característico de uma matriz com coeficientes reais (logo p tem coeficientes reais). Sabemos que p(3)=0, isto é, 3 é uma raiz de p.
Propriedade correta sobre polinómios com coeficientes reais: se uma raiz complexa não-real a+bi (com b\neq0) é raiz, então seu conjugado a-bi também é raiz. Isso fala sobre conjugação complexa, não sobre mudar o sinal da raiz. Não existe, em geral, nenhuma regra que force que, se r é raiz, então -r também seja raiz.
Contraprova simples e direta (contraexemplo): considere a matriz 1\times 1 A=\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}. O polinómio característico de A é
p(\lambda)=\lambda-3.
Temos p(3)=0, mas
p(-3)=(-3)-3=-6\neq 0.
Portanto a afirmativa “se p(3)=0 então p(-3)=0” é falsa em geral.
Assim, a afirmativa II é falsa.

Passo 6

Conclusão combinada: I é verdadeira e II é falsa. A alternativa que corresponde a isso é a letra (B).

Resposta

(B) Só I é verdadeira.

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