Q14: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(8 x+4 y-3 z, \frac{y}{8}-5 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 9 . O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é maior do que o volume de Q.
(C) é igual ao volume de Q.
(D) é menor do que o volume de Q.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z)=\left(8x+4y-3z,\;\frac{y}{8}-5z,\;z\right)
e informa que Q\subset\mathbb{R}^3 é um paralelepípedo com volume 9. A pergunta é: qual é a relação entre o volume de T(Q) e o volume de Q? Ou seja, se o volume de T(Q) pode ser maior, menor, igual, etc., em relação ao volume de Q.
Informações relevantes listadas:
  • A transformação linear T é dada explicitamente por suas componentes (já acima).
  • O volume de Q é 9.
  • Precisamos decidir entre as opções (A)–(D) sobre como o volume se transforma.

Passo 2

Vamos representar T por uma matriz A em relação à base canônica de \mathbb{R}^3. Para isso pegamos os coeficientes das coordenadas de saída em função de x,y,z. Observando T temos:
  • primeira componente: 8x+4y-3z → coeficientes (8,4,-3),
  • segunda componente: 0\cdot x+\frac{1}{8}y-5z → coeficientes (0,\tfrac{1}{8},-5),
  • terceira componente: 0\cdot x+0\cdot y+1\cdot z → coeficientes (0,0,1).
Logo a matriz de T é
A=\begin{pmatrix} 8 & 4 & -3\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{8} & -5\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Teorema usado (explicado de forma didática): Uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n representada por uma matriz A multiplica volumes por um fator igual ao valor absoluto do determinante de A. Em notação:
\text{Vol}(T(Q)) = |\det(A)|\cdot \text{Vol}(Q).
O que isso significa em palavras: se |\det(A)|=2, T dobra volumes; se |\det(A)|=\tfrac{1}{2}, T reduz volumes à metade; se |\det(A)|=1, T preserva volumes; se \det(A) é negativo, além de escalar há inversão de orientação, mas o volume usa o valor absoluto. Exemplo simples: na dimensão 2, a matriz \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix} tem determinante 2 e multiplica áreas por 2.

Passo 4

Agora calculamos o determinante de A. Observe que A é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares valem as propriedades:
  • o determinante de uma matriz triangular é o produto das entradas da diagonal principal.
A diagonal de A é (8,\tfrac{1}{8},1). Portanto
\det(A)=8\cdot \tfrac{1}{8}\cdot 1.

Passo 5

Calculando o produto do passo anterior obtemos
\det(A)=8\cdot \tfrac{1}{8}\cdot 1 = 1,
então o fator de escala de volumes é |\det(A)|=|1|=1. Aplicando a fórmula do Passo 3:
\text{Vol}(T(Q)) = |\det(A)|\cdot \text{Vol}(Q) = |1|\cdot 9.

Resposta

(C)

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