Considere a seguinte matriz A :
A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right)
(a) Calcular o determinante da matriz A.
(b) Se a matriz for invertivel calcular a sua inversa A^{-1}.
(c) Considerando o sistema A x=b, onde b=\left[\begin{array}{l}24 \\\\ 24 \\\\ 24\end{array}\right], encontrar o vetor solução x.

Passo 1

O enunciado dá a matriz triangular superior
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
e pede: (a) o determinante; (b) a inversa caso seja invertível; (c) a solução do sistema Ax=b com
b = \begin{pmatrix}24\\\ 24\\\ 24\end{pmatrix}.
Vamos usar propriedades de matrizes triangulares (determinante como produto da diagonal e inversa triangular) e substituição regressiva para resolver o sistema.

Passo 2

Para matriz triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
\det(A) = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24.

Passo 3

Como \det(A)=24\neq0, a matriz A é invertível. A inversa de uma matriz triangular superior também é triangular superior, cujos elementos na diagonal são
(A^{-1})_{ii} = \frac{1}{a_{ii}},
e para i<j vale
(A^{-1})_{ij} = -\frac{1}{a_{ii}}\sum_{k=i+1}^{j}a_{ik}\,(A^{-1})_{kj}.

Passo 4

Calculando os elementos de A^{-1}:
Diagonal:
(A^{-1})_{11} = \tfrac12,\quad (A^{-1})_{22} = \tfrac13,\quad (A^{-1})_{33} = \tfrac14.
Para i=2,j=3:
(A^{-1})_{23} = -\frac{1}{3}\bigl(3\cdot\tfrac14\bigr) = -\tfrac14.
Para i=1,j=2:
(A^{-1})_{12} = -\frac{1}{2}\bigl(1\cdot\tfrac13\bigr) = -\tfrac16.
Para i=1,j=3:
(A^{-1})_{13} = -\frac{1}{2}\bigl(1\cdot(-\tfrac14)+2\cdot\tfrac14\bigr) = -\frac{1}{2}\bigl(-\tfrac14+\tfrac12\bigr) = -\tfrac18.
Logo,
A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & -\tfrac16 & -\tfrac18\\\\ 0 & \tfrac13 & -\tfrac14\\\\ 0 & 0 & \tfrac14 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para resolver Ax=b usamos substituição regressiva:
4x_3 = 24 \implies x_3 = 6,
3x_2 + 3x_3 = 24 \implies 3x_2 + 18 = 24 \implies x_2 = 2,
2x_1 + x_2 + 2x_3 = 24 \implies 2x_1 + 2 + 12 = 24 \implies x_1 = 5.
Portanto
x = \begin{pmatrix}5\\\ 2\\\ 6\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \det(A) = 24
(b) A^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac12 & -\tfrac16 & -\tfrac18\\\\ 0 & \tfrac13 & -\tfrac14\\\\ 0 & 0 & \tfrac14 \end{pmatrix}
(c) x = \begin{pmatrix}5\\\ 2\\\ 6\end{pmatrix}

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