Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
-4
-8.4
-2
3
17.5
-1
3
10.7
0
-3
-21.0
1
-5
-29.4
2
2
14.1
3
-2
4.3
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(8,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 172.2
(B) 173.2
(C) 174.2
(D) 175.2
(E) 176.2
(F) 177.2
(G) 178.2
(H) 179.2
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O modelo é Z = a x^{2} + b y + c, com parâmetros a,b,c desconhecidos.
Foram feitas 7 medições (x,y,Z):
(x,y,Z)=(-3,-4,-8{,}4)
(x,y,Z)=(-2,3,17{,}5)
(x,y,Z)=(-1,3,10{,}7)
(x,y,Z)=(0,-3,-21{,}0)
(x,y,Z)=(1,-5,-29{,}4)
(x,y,Z)=(2,2,14{,}1)
(x,y,Z)=(3,-2,4{,}3)
O que se pede:
Ajustar a,b,c pelo critério dos mínimos quadrados (minimizar soma dos quadrados dos resíduos).
Usar o modelo ajustado para prever Z em (x,y)=(8,9).
Escolher a melhor aproximação entre as opções dadas.
Passo 2
Explicação didática do método que vamos usar (mínimos quadrados lineares).
Observação importante: o modelo é linear nos parâmetros a,b,c porque aparece como combinação linear de funções conhecidas de x,y: x^{2}, y, 1. Isso permite usar regressão linear pelo método dos mínimos quadrados.
Montamos uma matriz de desenho X cujas colunas são as funções que multiplicam a,b,c: primeira coluna x^{2}, segunda coluna y, terceira coluna 1. O vetor de observações é Z.
Resolver o sistema linear. Vou mostrar a resolução de forma clara e compacta usando eliminação (mostrando passos essenciais e resultados intermediários).
Multiplicando a segunda destas por 49 (para limpar denominadores) e a terceira por 35 (também para limpar denominadores) e reorganizando, é mais simples trabalhar com inteiros. Uma forma conveniente é reescrever o par como