Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -4 -8.4
-2 3 17.5
-1 3 10.7
0 -3 -21.0
1 -5 -29.4
2 2 14.1
3 -2 4.3
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(8,9). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 172.2
(B) 173.2
(C) 174.2
(D) 175.2
(E) 176.2
(F) 177.2
(G) 178.2
(H) 179.2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O modelo é Z = a x^{2} + b y + c, com parâmetros a,b,c desconhecidos.
  • Foram feitas 7 medições (x,y,Z):
    • (x,y,Z)=(-3,-4,-8{,}4)
    • (x,y,Z)=(-2,3,17{,}5)
    • (x,y,Z)=(-1,3,10{,}7)
    • (x,y,Z)=(0,-3,-21{,}0)
    • (x,y,Z)=(1,-5,-29{,}4)
    • (x,y,Z)=(2,2,14{,}1)
    • (x,y,Z)=(3,-2,4{,}3)
  • O que se pede:
    1. Ajustar a,b,c pelo critério dos mínimos quadrados (minimizar soma dos quadrados dos resíduos).
    2. Usar o modelo ajustado para prever Z em (x,y)=(8,9).
    3. Escolher a melhor aproximação entre as opções dadas.

Passo 2

Explicação didática do método que vamos usar (mínimos quadrados lineares).
  • Observação importante: o modelo é linear nos parâmetros a,b,c porque aparece como combinação linear de funções conhecidas de x,y: x^{2}, y, 1. Isso permite usar regressão linear pelo método dos mínimos quadrados.
  • Montamos uma matriz de desenho X cujas colunas são as funções que multiplicam a,b,c: primeira coluna x^{2}, segunda coluna y, terceira coluna 1. O vetor de observações é Z.
  • A solução de mínimos quadrados (equação normal) é
(X^{T}X)\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = X^{T}Z.
Isso leva a um sistema linear 3\times3 que vamos montar e resolver. Cada soma necessária será calculada a partir dos dados.]

Passo 3

Construir as colunas relevantes e calcular as somas (peguei todos os números da tabela do enunciado).
Para cada linha calculo U=x^{2}, V=y, W=1 e produto com Z. Os valores são:
  • Linhas U: 9,4,1,0,1,4,9. Logo \sum U = 9+4+1+0+1+4+9 = 28.
  • Linhas V: -4,3,3,-3,-5,2,-2. Logo \sum V = -4+3+3-3-5+2-2 = -6.
  • \sum W = 7 (número de dados).
  • Somatório de Z: \sum Z = -8{,}4+17{,}5+10{,}7-21{,}0-29{,}4+14{,}1+4{,}3 = -12{,}2.
  • Somatórios quadráticos e cruzados necessários: \sum U^{2} = 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} = 196.
\sum V^{2} = (-4)^{2}+3^{2}+3^{2}+(-3)^{2}+(-5)^{2}+2^{2}+(-2)^{2} = 76.
\sum U V = 9(-4)+4(3)+1(3)+0(-3)+1(-5)+4(2)+9(-2) = -36.
\sum U Z = 9(-8{,}4)+4(17{,}5)+1(10{,}7)+0(-21{,}0)+1(-29{,}4)+4(14{,}1)+9(4{,}3)=70{,}8.
\sum V Z = (-4)(-8{,}4)+3(17{,}5)+3(10{,}7)+(-3)(-21{,}0)+(-5)(-29{,}4)+2(14{,}1)+(-2)(4{,}3)=347{,}8.
Resumo das somas úteis (já calculadas acima):
\sum U = 28,\quad \sum V = -6,\quad \sum W = 7,\quad \sum Z = -12{,}2,
\sum U^{2}=196,\quad \sum V^{2}=76,\quad \sum UV=-36,
\sum UZ=70{,}8,\quad \sum VZ=347{,}8.

Passo 4

Montar as equações normais do sistema linear 3\times3.
As normais ficam (matricialmente (X^{T}X)\theta = X^{T}Z):
\begin{pmatrix} \sum U^{2} & \sum UV & \sum U\\[4pt] \sum UV & \sum V^{2} & \sum V\\[4pt] \sum U & \sum V & \sum W \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sum UZ\\[4pt]\sum VZ\\[4pt]\sum Z\end{pmatrix}.
Substituindo os números obtidos:
\begin{pmatrix} 196 & -36 & 28\\[4pt] -36 & 76 & -6\\[4pt] 28 & -6 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}70{,}8\\[4pt]347{,}8\\[4pt]-12{,}2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver o sistema linear. Vou mostrar a resolução de forma clara e compacta usando eliminação (mostrando passos essenciais e resultados intermediários).
Escrevendo as três equações explícitas:
\begin{aligned} 196a & -36b & +28c &= 70{,}8,\\\\ -36a & +76b & -6c &= 347{,}8,\\\\ 28a & -6b & +7c &= -12{,}2. \end{aligned}
Eliminação para reduzir ao sistema 2\times2 em b,c:
  • Usando a primeira equação para zerar as entradas na coluna de a das outras duas, obtemos (após operações elementares) o sistema equivalente
\begin{aligned} &\text{(linha 2 modificada)}:\quad \frac{3400}{49}\,b - \frac{6}{7}\,c = \frac{88397}{245}\quad\text{(aprox.\\ }69{,}3877551\,b -0{,}85714285\,c = 360{,}8040816\text{)},\\\ &\text{(linha 3 modificada)}:\quad -\frac{6}{7}\,b + 3\,c = -\frac{781}{35}\quad\text{(aprox.\\ }-0{,}85714286\,b + 3\,c = -22{,}3142857\text{)}. \end{aligned}
  • Multiplicando a segunda destas por 49 (para limpar denominadores) e a terceira por 35 (também para limpar denominadores) e reorganizando, é mais simples trabalhar com inteiros. Uma forma conveniente é reescrever o par como
\begin{aligned} 3400\,b - 42\,c &= \frac{88397}{5},\\\\ -42\,b + 147\,c &= -\frac{5467}{5}. \end{aligned}
  • Agora eliminamos c multiplicando a primeira equação por 147 e a segunda por 42 e somando. Fazendo isso obtemos uma equação para b somente:
498036\,b = 2552949 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{2552949}{498036} \approx 5{,}126038898.
(Detalhe: os números acima vêm da operação 3400\cdot147 - 42\cdot42 = 498036 no coeficiente de b e do correspondente lado direito já calculado.)

Passo 6

Calcular c usando a equação reduzida.
  • Substituindo b em uma das equações reduzidas, por exemplo em -42b + 147c = -\dfrac{5467}{5}, temos
147\,c = 42\,b - \frac{5467}{5}.
  • Substituindo b=\dfrac{2552949}{498036} e calculando obtemos (fazendo as contas exatas por frações):
c = -\frac{1093321761}{183028230} \approx -5{,}973553.

Passo 7

Calcular a usando a primeira equação (ou a expressão direta das normais).
  • Usando a expressão deduzida antes (resolvida em função de b,c):
a = \frac{70{,}8 + 36b - 28c}{196}.
  • Substituindo os valores numéricos encontrados:
    • b \approx 5{,}126038898,
    • c \approx -5{,}973553,
      obtemos
a \approx 2{,}155635.
Portanto os parâmetros ajustados (arredondando para seis casas significativas) são aproximadamente
a \approx 2{,}155635,\qquad b \approx 5{,}126039,\qquad c \approx -5{,}973553.

Passo 8

Prever Z em (x,y)=(8,9) com o modelo ajustado.
  • Primeiro calcular x^{2} para x=8:
x^{2}=8^{2}=64.
  • Avaliar
Z_{\text{pred}} = a\cdot 64 + b\cdot 9 + c.
  • Substituindo os valores aproximados:
Z_{\text{pred}} \approx 2{,}155635\cdot 64 + 5{,}126039\cdot 9 - 5{,}973553.
Cálculo numérico:
2{,}155635\cdot 64 \approx 137{,}96064,\qquad 5{,}126039\cdot 9 \approx 46{,}134351,
Z_{\text{pred}} \approx 137{,}96064 + 46{,}134351 - 5{,}973553 \approx 178{,}121438.
Arredondando à precisão das alternativas, Z_{\text{pred}}\approx 178{,}12, o que corresponde à alternativa mais próxima 178{,}2.

Resposta

(G) 178{,}2

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